1992 年考研数二真题解析

八、证明题 (本题满分 9 分)

设 $f^{\prime \prime}(x)<0, f(0)=0$, 证明对任何 $x_{1}>0, x_{2}>0$, 有 $f\left(x_{1}+x_{2}\right)<f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)$.

方法一（构造函数）：

本题其实就是要证明，当 $x>0$ 时，下式的成立性：

$$
f\left(x_{1}+x\right)<f\left(x_{1}\right)+f(x)
$$

因此，构造函数：

$$
\varphi(x)=f(x)+f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{1}+x\right)
$$

于是就是要证明 $\varphi(x)>0$

又：

$$
\varphi^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-f^{\prime}\left(x_{1}+x\right)
$$

又：

$$
f^{\prime \prime}(x)<0
$$

因此，当 $x>0$ 时：

$$
f^{\prime}\left(x_{1}+x\right)0
$$

又：

$$
\varphi(0)=f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{1}\right)=0, \ f(0)=0
$$

因此：

$$
\varphi(x)>0
$$

方法二（拉格朗日）：

$$
\xi_{1} \in\left(0, x_{1}\right) \Rightarrow \frac{f\left(x_{1}\right)-f(0)}{x_{1}-0}=f^{\prime}\left(\xi_{1}\right) \Rightarrow
$$

$$
f(0)=0 \Rightarrow f\left(x_{1}\right)=x_{1} f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)
$$

又：

$$
\xi_{2} \in\left(x_{1}, x_{2}\right) \Rightarrow \frac{f\left(x_{1}+x_{2}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}}=f^{\prime}\left(\xi_{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
f\left(x_{1}+x_{2}\right)-f\left(x_{2}\right)=x_{1} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)
$$

又：

$$
f^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)<0 \Rightarrow f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)<f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)
$$

因此：

$$
f\left(x_{1}+x_{2}\right)-f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{1}\right) \Rightarrow
$$

$$
f\left(x_{1}+x_{2}\right)<f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)
$$

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