1992 年考研数二真题解析

八、证明题 (本题满分 9 分)

设 $f^{\prime \prime }(x)<0,f(0)=0$, 证明对任何 $x_1>0,x_2>0$, 有 $f(x_1+x_2)<f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$.

方法一（构造函数）：

本题其实就是要证明，当 $x>0$ 时，下式的成立性：

$$f(x_1+x)<f\left(x_1\right)+f(x)$$

因此，构造函数：

$$\phi (x)=f(x)+f\left(x_1\right)-f(x_1+x)$$

于是就是要证明 $\phi (x)>0$

又：

$${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x_1+x)$$

又：

$$f^{\prime \prime }(x)<0$$

因此，当 $x>0$ 时：

$$f^{\prime }(x_1+x)0$$

又：

$$\phi (0)=f\left(x_1\right)-f\left(x_1\right)=0,f(0)=0$$

因此：

$$\phi (x)>0$$

方法二（拉格朗日）：

$${\xi }_1\in (0,x_1)\Rightarrow \frac{f\left(x_1\right)-f(0)}{x_1-0}=f^{\prime }\left({\xi }_1\right)\Rightarrow$$

$$f(0)=0\Rightarrow f\left(x_1\right)=x_1{f}^{\prime }\left({\xi }_1\right)$$

又：

$${\xi }_2\in (x_1,x_2)\Rightarrow \frac{f(x_1+x_2)-f\left(x_2\right)}{x_1}=f^{\prime }\left({\xi }_2\right)\Rightarrow$$

$$f(x_1+x_2)-f\left(x_2\right)=x_1{f}^{\prime }\left({\xi }_2\right)$$

又：

$$f^{\prime \prime }\left(x_1\right)<0\Rightarrow f^{\prime }\left({\xi }_2\right)<f^{\prime }\left({\xi }_1\right)$$

因此：

$$f(x_1+x_2)-f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)\Rightarrow$$

$$f(x_1+x_2)<f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$$

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