1991 年考研数二真题解析

八、计算题 (本题满分 9 分)

设函数 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内满足 $f(x)=f(x-\pi )+$ $\sin x$, 且 $f(x)=x,x\in [0,\pi )$, 计算 ${\int }_{\pi }^{3\pi }f(x)\mathrm{d}x$.

$${\int }_{\pi }^{3\pi }f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{2\pi }f(x-\pi )\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{2\pi }[f(x)-\sin x)\mathrm{d}x={\int }_0^{2\pi }f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{2\pi }\sin x\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{2\pi }[f(x)-\sin x)\mathrm{d}x={\int }_0^{2\pi }f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{2\pi }\sin x\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x+{\int }_{\pi }^{2\pi }f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{2\pi }\sin x\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\pi }x\mathrm{d}x+{\int }_0^{\pi }f(x-\pi )\mathrm{d}x+{\int }_0^{2\pi }\sin x\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\pi }x\mathrm{d}x+{\int }_0^{\pi }[f(x)-\sin x]\mathrm{d}x+{\int }_0^{2\pi }\sin x\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\pi }x\mathrm{d}x+{\int }_0^{\pi }x\mathrm{d}x-{\int }_0^{\pi }\sin x\mathrm{d}x+{\int }_0^{2\pi }\sin x\mathrm{d}x=$$

$$2{\int }_0^{\pi }x\mathrm{d}x+{\int }_{\pi }^{2\pi }\sin x\mathrm{d}x=$$

$${x^2|}_0^{\pi }-{\cos x|}_{\pi }^{2\pi }={\pi }^2-2$$

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