分段函数的积分分段求，但积分时分的“段”和分段函数的“段”可能不一样——积分怎么分段，还要看积分上下限

一、题目

已知， $f (x) = max {1, x^{2}}$ , 则 $\int_{1}^{x} f (t) d t = ?$

难度评级：

根据题目，我们可以绘制出函数 $f (x)$ 的示意图（实线部分）：

于是：

当 $x ⩾ 1$ 时：

$f (x) = x^{2} \Rightarrow \int_{1}^{x} f (t) d t = {\frac{1}{3} t^{3} |}_{1}^{x} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{3}$

当 $- 1 < x < 1$ 时：

$f (x) = 1 \Rightarrow \int_{0}^{x} f (t) d t = {t |}_{1}^{x} = x - 1$

但是，当计算 $x ⩽ - 1$ 时，我们可能会反如下错误：

$f (x) = x^{2} \Rightarrow \int_{1}^{x} f (t) d t = {\frac{1}{3} t^{3} |}_{1}^{x} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{3}$

当 $x \leq - 1$ 时，正确的计算步骤应该是：

$\int_{1}^{x} f (t) d t = \int_{1}^{- 1} f (t) d t + \int_{- 1}^{x} f (t) d t =$

$\int_{1}^{- 1} 1 d t + \int_{- 1}^{x} t^{2} d t =$

$- 2 + {\frac{1}{3} t^{3} |}_{- 1}^{x} = - 2 + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{3}$

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