分段函数的积分分段求，但积分时分的“段”和分段函数的“段”可能不一样——积分怎么分段，还要看积分上下限

一、题目

已知，$f(x)=\max \left\{1, x^{2}\right\}$, 则 $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=?$

难度评级：

二、解析

根据题目，我们可以绘制出函数 $f(x)$ 的示意图（实线部分）：

于是：

当 $x \geqslant 1$ 时：

$$
f(x)=x^{2} \Rightarrow \int_{1}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t=\left.\frac{1}{3} t^{3} \right|_{1} ^{x}=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{3}
$$

当 $-1<x<1$ 时：

$$
f(x)=1 \Rightarrow \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t=\left.t\right|_{1} ^{x}=x-1
$$

但是，当计算 $x \leqslant-1$ 时，我们可能会反如下错误：

$$
\textcolor{orangered}{
f(x)=x^{2} \Rightarrow \int_{1}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t=\left.\frac{1}{3} t^{3} \right|_{1} ^{x} = \frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{3}
}
$$

当 $x \leq-1$ 时，正确的计算步骤应该是：

$$
\textcolor{springgreen}{
\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t=\int_{1}^{-1} f(t) \mathrm{~ d} t + \int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t } =
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\int_{1}^{-1} 1 \mathrm{~ d} t+\int_{-1}^{x} t^{2} \mathrm{~ d} t } =
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
-2+\left.\frac{1}{3} t^{3}\right|_{-1} ^{x}=-2+\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{3}=\frac{1}{3} x^{3} – \frac{5}{3}
}
$$

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