遇到两个根号式子相加减的定积分一般拆开来分别计算

一、题目

$I = \int_{0}^{1} [\sqrt{2 x - x^{2}} - \sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}}] d x = ?$

难度评级：

$(x + 1)^{2} = x^{2} + 1 + 2 x \Rightarrow$

$(x - 1)^{2} = x^{2} + 1 - 2 x \Rightarrow$

$- (x - 1)^{2} = 2 x - x^{2} - 1 \Rightarrow$

$+ 1 - (x - 1)^{2} = 2 x - x^{2}$

$y = \sqrt{2 x - x^{2}} \Rightarrow y = \sqrt{1 - (x - 1)^{2}} \Rightarrow$

$(x - 1)^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow (1, 0) \Rightarrow r = 1 \Rightarrow$

$\int_{0}^{1} \sqrt{2 x - x^{2}} = \frac{1}{4} π r^{2} = \frac{π}{4}$

$\int_{0}^{1} \sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}} d x \Rightarrow x = \sin t \Rightarrow$

$\sin t \in (0, 1) \Rightarrow t \in (0, \frac{π}{2})$

$1 - x^{2} = \cos^{2} t \Rightarrow$

$\int_{0}^{1} \sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} t d (\sin t) \Rightarrow$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} t d t = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{3 π}{16}$

综上可得：

$I = \frac{π}{4} - \frac{3 π}{16} = \frac{π}{16}$

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