典型例题汇总：定积分（奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现）

题目 10

已知，$f(x)$ 为非负的连续函数，且 $f(x){\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t={\cos }^{4}x$, 则 $f(x)$ 在区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的平均值是多少？

解析 10

令：

$$u=x-t\Rightarrow t=x-u\Rightarrow t\in (x,0)\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u\Rightarrow$$

则：

$${\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t=-{\int }_x^{0}f(u)\mathrm{d}u={\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u$$

于是：

$$f(x){\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t={\cos }^{4}x\Rightarrow$$

$$f(x){\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u={\cos }^{4}x\Rightarrow$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)\mathrm{d}x{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{4}x=\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2}\Rightarrow$$

于是：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)\mathrm{d}x{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u=\frac{3\pi }{16}\Rightarrow$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}[f(x)\cdot {\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u]\mathrm{d}x=\frac{3\pi }{16}\Rightarrow$$

又：

$${\left\{{[{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u]}^2\right\}}^{\prime }=2{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u\cdot f(x)$$

于是：

$${\frac{1}{2}{[{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u]}^2|}_{0=x}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{3\pi }{16}\Rightarrow$$

$${[{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(u)\mathrm{d}u]}^2=\frac{3\pi }{8}\Rightarrow$$

综上：

$$\frac{{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(u)\mathrm{d}u}{\frac{\pi }{2}-0}=\sqrt{\frac{3\pi }{8}}\times \frac{2}{\pi }=\sqrt{\frac{3\pi }{8}\times \frac{4}{{\pi }^2}}=\sqrt{\frac{3}{2\pi }}$$

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