求代数余子式之和通常可以转化为求某行列式的值

一、题目

已知：

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}1& -5& 1& 3\\ 1& 1& 3& 4\\ 1& 1& 2& 3\\ 2& 0& 1& 5\end{array}\right|$$

则：

$$A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=?$$

难度评级：

二、解析

$$A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=$$

$$\left|\begin{array}{cccc}1& -5& 1& 3\\ 1& 1& 3& 4\\ 1& 1& 2& 3\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right|=$$

$$\left|\begin{array}{cccc}1& -5& 1& 3\\ 0& 6& 2& 1\\ 0& 6& 1& 0\\ 0& 6& 0& -2\end{array}\right|=(-1{)}^{1+1}\times 1\times \left|\begin{array}{ccc}6& 2& 1\\ 6& 1& 0\\ 6& 0& -2\end{array}\right|=$$

$$\left|\begin{array}{ccc}6& 2& 1\\ 0& -1& -1\\ 0& -2& -3\end{array}\right|=(-1{)}^{1+1}\times 6\times \left|\begin{array}{cc}-1& -1\\ -2& -3\end{array}\right|=$$

$$(-1{)}^{1+1}\times 6\times (-1)\times \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& -3\end{array}\right|=$$

$$(-1{)}^{1+1}\times 6\times (-1)\times (-1)\times \left|\begin{array}{ll}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=$$

$$6\times (3-2)=6$$

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