第一类间断点没有无穷也不震荡，除此之外的都是第二类间断点

一、题目

已知，$f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ 则 $x=0$ 和 $x=1$ 是该函数的什么间断点？

难度评级：

二、解析

首先：

$$x\to 0^{+}\Rightarrow \arctan \frac{0^{+}-1}{0^{+}}\to -\mathrm{\infty }$$

$$x\to 0^{-}\Rightarrow \arctan \frac{0^{-}-1}{0^{-}}\to +\mathrm{\infty }$$

$$\arctan (\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }\Rightarrow f(x)=\frac{1}{0^{-}}=0$$

又：

$$x\to 1^{+}\Rightarrow \arctan \frac{1^{+}-1}{1^{+}}\to 0^{-}$$

$$x\to 1^{-}\Rightarrow \arctan \frac{1^{-}-1}{1^{-}}=0^{+}$$

$$f(x)=\frac{1}{0}=\mathrm{\infty }$$

综上可知，$x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点。

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