在二重积分中，分清当前哪个变量要被看做常数很重要

一、题目

已知，积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2$, $y=0$ 围成，则 $\iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=?$

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二、解析

首先，本题中的积分区域 $D$ 如图 01 所示，可以看到，这个积分区域既不是规则的圆形或者矩形，也没有对称性质，因此，就是一个一般的积分区域（题目考察点通常不会设在这样的积分区域上）：

于是，我们只能从被积函数入手：

$$
I=\iint_{D} \frac{e^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{d} \sigma=\int_{1}^{2} \mathrm{d} x \int_{0}^{\ln x} \frac{e^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{d} y=
$$

$$
\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{d} x}{x^{x}-1} \int_{0}^{\ln x} e^{x y} \mathrm{d} y
$$

其中（因为是 “$\mathrm{d} y$”, 因此，下面的计算将 $x$ 看做常数）：

$$
\int_{0}^{\ln x} e^{x y} \mathrm{d} y=\frac{1}{x} \int_{0}^{\ln x} e^{x y} \mathrm{d} (x y)=
$$

$$
\left.\frac{1}{x} e^{x y}\right|_{0} ^{\ln x}=\frac{1}{x}\left[e^{x \ln x}-1\right]=
$$

$$
\frac{1}{x}\left(x^{x}-1\right)
$$

于是：

$$
I=\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{x}-1} \cdot \frac{1}{x}\left(x^{x}-1\right) \mathrm{d} x=
$$

$$
\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d} x=\left.\ln x\right|_{1} ^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2
$$

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