在二重积分中，分清当前哪个变量要被看做常数很重要

一、题目

已知，积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2$, $y=0$ 围成，则 ${\iint }_D\frac{{\mathrm{e}}^{xy}}{x^x-1}\mathrm{d}\sigma =?$

难度评级：

二、解析

首先，本题中的积分区域 $D$ 如图 01 所示，可以看到，这个积分区域既不是规则的圆形或者矩形，也没有对称性质，因此，就是一个一般的积分区域（题目考察点通常不会设在这样的积分区域上）：

于是，我们只能从被积函数入手：

$$I={\iint }_D\frac{e^{xy}}{x^x-1}\mathrm{d}\sigma ={\int }_1^2\mathrm{d}x{\int }_0^{\ln x}\frac{e^{xy}}{x^x-1}\mathrm{d}y=$$

$${\int }_1^2\frac{\mathrm{d}x}{x^x-1}{\int }_0^{\ln x}{e}^{xy}\mathrm{d}y$$

其中（因为是 “$\mathrm{d}y$”, 因此，下面的计算将 $x$ 看做常数）：

$${\int }_0^{\ln x}{e}^{xy}\mathrm{d}y=\frac{1}{x}{\int }_0^{\ln x}{e}^{xy}\mathrm{d}(xy)=$$

$${\frac{1}{x}{e}^{xy}|}_0^{\ln x}=\frac{1}{x}[e^{x\ln x}-1]=$$

$$\frac{1}{x}(x^x-1)$$

于是：

$$I={\int }_1^2\frac{1}{x^x-1}\cdot \frac{1}{x}(x^x-1)\mathrm{d}x=$$

$${\int }_1^2\frac{1}{x}\mathrm{d}x={\ln x|}_1^2=\ln 2-\ln 1=\ln 2$$

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