二重积分先定积分区域：但二重积分的值可不是积分区域的面积

一、题目

$$
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta}} r^{2} \mathrm{~d} r+\int_{1}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=?
$$

难度评级：

二、解析

已知，在极坐标系积分和直角坐标系积分之间转换的公式如下：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=r \cos \theta . \\
y=r \sin \theta . \\
\mathrm{d} x \mathrm{d} y=r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta .
\end{array}\right.
$$

首先，令：

$$
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta}} r^{2} \mathrm{~d} r+\int_{1}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y
$$

为：

$$
I = I_{1} + I_{2}
$$

对于 $I_{1}$, 我们有：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta}} r^{2} \mathrm{d} r \Rightarrow
$$

$$
\theta \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)
$$

$$
k=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1 \Rightarrow y-0=1 \cdot(x-0) \Rightarrow
$$

$$
y=x
$$

$$
r \in\left(0, \frac{1}{\cos \theta}\right) \Rightarrow 0 \leqslant r \leqslant \frac{1}{\cos \theta} \Rightarrow
$$

$$
r \cos \theta \leq 1 \Rightarrow 0 \leq x \leq 1
$$

于是，$I_{1}$ 中积分区域的示意图如图 01 所示：

对于 $I_{2}$, 我们有：

$$
\int_{1}^{\sqrt{2}} \mathrm{d} x \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{d} y \Rightarrow
$$

$$
1 \leq x \leq \sqrt{2}
$$

$$
0 \leq y \leq \sqrt{2-x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
0 \leq y^{2} \leq 2-x^{2} \Rightarrow 0 \leq y^{2}+x^{2} \leq 2
$$

于是，$I_{2}$ 中积分区域的示意图如图 02 所示：

而且，$I_{1}$ 和 $I_{2}$ 的积分区域合并到一起，刚好是圆形 $x^{2} + y^{2} \leqslant 2$ 的一部分：

又因为将 $I_{2}$ 中的被积函数转换为极坐标系下后得到的被积函数也是 $r \cdot r = r^{2}$, 因此，我们可以将 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 合并到一个积分中进行计算：

$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2} \mathrm{d} r=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{d} \theta=
$$

$$
\frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2} \pi}{6}.
$$

需要注意的是，无论什么样的二重积分，表示的都是曲顶柱体的体积，因此，我们切不可以因为本题中的积分区域是 $\frac{1}{4}$ 个圆就直接用圆的面积公式计算本题的答案：

$$
\bcancel{
\pi(\sqrt{2})^{2} \times \frac{\frac{\pi}{4}}{\pi}=\frac{2 \pi}{4}=\frac{\pi}{2}
}
$$

---