求解定积分时灵活变换积分上下限也很重要

一、题目

已知，连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)-f(x)=x$ 和 ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$ 这两个条件，则 ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=?$

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二、解析

首先，我们先根据积分上线限绘制出如图 01 所示的示意图：

根据上图，我们可以有如下操作：

$${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x–{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

由于积分上下限 $\mathrm{d}x\in (2,3)$, 于是积分上下限 $\mathrm{d}(x+2)\in (2,3)$, 又因为 $(x+2{)}^{\prime }=x^{\prime }$, 则当函数自变量为 $x+2$ 时，就有积分上线限 $x\in (1,2)$ $\Rightarrow$

$${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_2^{3}f(x+2)\mathrm{d}(x+2)–{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}f(x+2)\mathrm{d}x–{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_0^1[f(x+2)-f(x)]\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{1}x\mathrm{d}x={\frac{1}{2}{x}^2|}_0^1=\frac{1}{2}.$$

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