求解分块矩阵的伴随矩阵

一、题目

已知 $\mathit{A},\mathit{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $\mathit{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则伴随矩阵 ${\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{E}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right)}^{\ast }=?$

难度评级：

二、解析

已知：

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}$$

因此：

$${\left[\begin{array}{ll}A& E\\ O& B\end{array}\right]}^{\ast }=\left|\begin{array}{ll}A& E\\ O& B\end{array}\right|{\left[\begin{array}{ll}A& E\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=$$

$$|A||B|{\left[\begin{array}{ll}A& E\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=|A||B|\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}E{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right]=$$

$$\left[\begin{array}{cc}|A|A^{-1}|B|& -|A|A^{-1}|B|B^{-1}\\ O& |A||B|B^{-1}\end{array}\right]\Rightarrow$$

$${\left[\begin{array}{ll}A& E\\ O& B\end{array}\right]}^{\ast }=\left[\begin{array}{cc}|B|A^{\ast }& -A^{\ast }{B}^{\ast }\\ O& |A|B^{\ast }\end{array}\right]$$

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