还记得椭圆的标准方程吗？如果要计算椭圆的质心你会算吗？

一、题目

计算 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(0⩽x⩽a,0⩽y⩽b)$ 所形成的图形的质心 $(\overline{x},\overline{y})=?$

难度评级：

二、解析

首先，$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 表示的就是椭圆的标准方程，其与 $X$ 轴的交点为 $(a,0)$ 和 $(-a,0)$, 与 $Y$ 轴的交点为 $(0,b)$ 和 $(0,-b)$, 示意图如图 01 所示：

但在本题中，要求解的并不是整个椭圆的质心，而是该椭圆位于坐标轴第一象限内的图形 $D$ 的质心 $(0⩽x⩽a,0⩽y⩽b)$, 如图 02 橙色部分所示：

首先，简化质心的求解公式：

$$\overline{x}=\frac{{\iint }_{D}x\rho (x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\iint }_D\rho (x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\overline{y}=\frac{{\iint }_{D}y\rho (x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\iint }_D\rho (x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$$

其中，$\rho (x,y)$ 表示平面图形的面密度，由于本题中没有提面密度，因此，我们认为：

$$\rho (x,y)=1$$

进而：

$$\overline{x}=\frac{{\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y},\overline{y}=\frac{{\iint }_{D}y\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\Rightarrow$$

$$\overline{x}=\frac{{\int }_0^{a}x\mathrm{d}x{\int }_0^y\mathrm{d}y}{S},\overline{y}=\frac{{\int }_0^a\mathrm{d}x{\int }_0^{y}y\mathrm{d}y}{S}\Rightarrow$$

$$\overline{x}=\frac{I_1}{S},\overline{y}=\frac{I_2}{S}$$

其中，椭圆整体的面积为 $\pi ab$, 因此，积分区域 $D$ 的面积为：

$$S=\frac{1}{4}\pi ab$$

接着，由于上面的质心公式中用到了函数 $y(x)$, 因此，我们需要求解出其表达式：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow$$

$$b^2{x}^2+a^{2}y2=a^2{b}^2\Rightarrow$$

$$a^2{y}^2=a^2{b}^2-b^2{x}^2\Rightarrow$$

$$y^2=b^2-\frac{b^2{x}^2}{a^2}\Rightarrow$$

$$y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$$

于是：

$$I_1={\int }_0^{a}x\mathrm{d}x{\int }_0^y\mathrm{d}y={\int }_0^{a}xy\mathrm{d}x={\int }_0^{a}xy(x)\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{a}xb\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\mathrm{d}x=b{\int }_0^{a}x{(1-\frac{x^2}{a^2})}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}(1-\frac{x^2}{a^2})\Rightarrow$$

$${(1-\frac{x^2}{a^2})}_x^{\prime }=-2\frac{1}{a^2}x\Rightarrow$$

$$I_1=\frac{-a^{2}b}{2}{\int }_0^a{(1-\frac{x^2}{a^2})}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}(1-\frac{x^2}{a^2})=$$

$${\frac{-a^{2}b}{2}\cdot \frac{2}{3}{(1-\frac{x^2}{a^2})}^{\frac{3}{2}}|}_0^a=$$

$$\frac{-a^{2}b}{3}[0-1]=\frac{a^{2}b}{3}.$$

又：

$$I_2={\int }_0^a\mathrm{d}x{\int }_0^{y}y\mathrm{d}y=\frac{1}{2}{\int }_0^a{y}^2(x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^a(b^2-\frac{b^2{x}^2}{a^2})\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{b}^2{\int }_0^a\mathrm{d}x-\frac{b^2}{2a^2}{\int }_0^a{x}^2\mathrm{d}x=$$

$$\frac{a{b}^2}{2}-{\frac{b^2}{2a^2}\cdot \frac{1}{3}{x}^3|}_0^a=\frac{a{b}^2}{2}-\frac{a{b}^2}{2\times 3}=\frac{1}{3}a{b}^2$$

综上：

$$\overline{x}=\frac{I_1}{S}=\frac{\frac{a^{2}b}{3}}{\frac{1}{4}\pi ab}=\frac{4a^{2}b}{3\pi ab}=\frac{4a}{3\pi }$$

$$\overline{y}=\frac{I_2}{S}=\frac{\frac{a{b}^2}{3}}{\frac{1}{4}\pi ab}=\frac{4a{b}^2}{3\pi ab}=\frac{4b}{3\pi }$$

综上可知，区域 $D$ 的质心为：

$$(\frac{4a}{3\pi },\frac{4b}{3\pi })$$

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