通过特征根确定三阶常系数微分方程

一、题目

以 $y=C_1{\mathrm{e}}^x+C_2\cos 2x+C_3\sin 2x$（其中 $C_1$, $C_2$, $C_3$ 是任意常数）为通解的微分方程是多少？

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二、解析

我们通常见到的二阶微分方程有两个特征根 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$, 以此可知，三阶微分方程的特征根就会有三个：

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$$

其中，$C_1{e}^{1\cdot x}$ 中的 $1$ 代表一个特征根：

$${\lambda }_1=1$$

而出现 $C_2\cos 2x+C_3\sin 2x$ 则表示存在形如 $\alpha \pm \beta i$ 形式的虚数根。

又因为虚数根 $\alpha \pm \beta i$ 对应的非齐次微分方程的通解是 $e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$ 形式的，因此：

$${\lambda }_2=2i$$

$${\lambda }_3=–2i$$

于是，我们可以构造出对应的特征方程：

$$(\lambda –1)(\lambda –2i)(\lambda +2i)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda –1)[{\lambda }^2–(2i{)}^2]=0\Rightarrow$$

$$(\lambda –1)[{\lambda }^2–(-4)]=0\Rightarrow$$

$$(\lambda –1)({\lambda }^2+4)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^3+4\lambda –{\lambda }^2–4=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^3–{\lambda }^2+4\lambda –4=0$$

因此，对应的微分方程就是：

$$y^{\prime \prime \prime }–y^{\prime \prime }+4y^{\prime }–4y=0$$

注意：

千万不要写成：$y^{\prime \prime \prime }–y^{\prime \prime }+4y^{\prime }–4=0$.

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