二阶导不等于零意味着什么？

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连，在 $(a, b)$ 二阶可导，又 $f(a)=f(b)$, $f^{\prime \prime}(x) \neq 0 \ [x \in(a, b)]$, 则下列说法中正确的是哪个？

[1]. 在 $(a, b)$ 内 $f^{\prime}(x) \neq 0$

[2]. 存在 $\xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$, $f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$

[3]. 存在唯一 $\xi \in(a, b), f^{\prime}(\xi)=0$

[4]. 至少存在一点 $\xi \in(a, b), f(\xi)=0$

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二、解析

当 $x \in (a, b)$ 时，$f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ 说明函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内没有发生凹凸性的改变。

换句话说，函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内只存在一个凹曲线或者一个凸曲线。

于是，根据罗尔定理可知，只有第 [3] 个说法一定正确。

此外，说法 [1] 和 [2] 一定错误，说法 [4] 无法判断正误。

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