泰勒公式总是在你没有思路的时候出手相救——可尝试泰勒公式的特征：两量相减，有 1 次幂和 2 次幂

一、题目

证明下面的不等式：

$$
\left|\frac{\sin x-\sin y}{x-y}-\cos y\right| \leq \frac{1}{2}|x-y|, \quad (x \neq y)
$$

难度评级：

二、解析

若要证明：

$$
\left|\frac{\sin x-\sin y}{x-y}-\cos y\right| \leq \frac{1}{2}|x-y| \Rightarrow \text{ 同乘以 } |x – y| \Rightarrow
$$

就是要证明：

$$
|\sin x-\sin y-(x-y) \cos y| \leqslant \frac{1}{2}(x-y)^{2} \tag{1}
$$

$\sin y$ 可以看作是 $\sin x$ 在 $x = y$ 处的泰勒展开，且 (1) 式中存在的 $(x – y)^{1}$ 和 $(x – y)^{2}$ 也是使用泰勒公式的特征，因此：

$$
\textcolor{orangered}{
\sin x=\sin y+[\cos (y)] \cdot(x-y)+\frac{-\sin y}{2 !}(x-y)^{2} } \Rightarrow
$$

$$
\sin x-\sin y-(x-y) \cos y=\frac{-\sin y}{2}(x-y)^{2} \Rightarrow
$$

$$
|\sin x-\sin y-(x-y) \cos y|=\left|\frac{-\sin y}{2}\right|(x-y)^{2}
$$

又：

$$
\left|\frac{-\sin y}{2}\right| \leqslant \frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
\left|\frac{-\sin y}{2}\right|(x-y)^{2} \leqslant \frac{1}{2}(x-y)^{2} \Rightarrow
$$

$$
|\sin x-\sin y-(x-y) \cos y| \leqslant \frac{1}{2}(x-y)^{2} \Rightarrow \text{ 同除以 } |x – y| \Rightarrow
$$

于是得证：

$$
\left|\frac{\sin x-\sin y}{x-y}-\cos y\right| \leqslant \frac{1}{2}|x-y|, \quad(x \neq y)
$$

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