泰勒公式总是在你没有思路的时候出手相救——可尝试泰勒公式的特征：两量相减，有 1 次幂和 2 次幂

一、题目

证明下面的不等式：

$$|\frac{\sin x-\sin y}{x-y}-\cos y|\le \frac{1}{2}|x-y|,(x\ne y)$$

难度评级：

二、解析

若要证明：

$$|\frac{\sin x-\sin y}{x-y}-\cos y|\le \frac{1}{2}|x-y|\Rightarrow \text{ 同乘以 }|x–y|\Rightarrow$$

就是要证明：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& |\sin x-\sin y-(x-y)\cos y|⩽\frac{1}{2}(x-y{)}^2\end{array}$$

$\sin y$ 可以看作是 $\sin x$ 在 $x=y$ 处的泰勒展开，且 (1) 式中存在的 $(x–y{)}^1$ 和 $(x–y{)}^2$ 也是使用泰勒公式的特征，因此：

$$\sin x=\sin y+[\cos (y)]\cdot (x-y)+\frac{-\sin y}{2!}(x-y{)}^2\Rightarrow$$

$$\sin x-\sin y-(x-y)\cos y=\frac{-\sin y}{2}(x-y{)}^2\Rightarrow$$

$$|\sin x-\sin y-(x-y)\cos y|=\left|\frac{-\sin y}{2}\right|(x-y{)}^2$$

又：

$$\left|\frac{-\sin y}{2}\right|⩽\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$\left|\frac{-\sin y}{2}\right|(x-y{)}^2⩽\frac{1}{2}(x-y{)}^2\Rightarrow$$

$$|\sin x-\sin y-(x-y)\cos y|⩽\frac{1}{2}(x-y{)}^2\Rightarrow \text{ 同除以 }|x–y|\Rightarrow$$

于是得证：

$$|\frac{\sin x-\sin y}{x-y}-\cos y|⩽\frac{1}{2}|x-y|,(x\ne y)$$

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