怎么通过伴随矩阵求解原矩阵？这个关于伴随矩阵的核心公式一定要牢记！

一、题目

已知矩阵 $\mathit{A}$ 的伴随矩阵 ${\mathit{A}}^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}4& -2& 0& 0\\ -3& 1& 0& 0\\ 0& 0& -4& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$, 则 $\mathit{A}=?$

难度评级：

二、解析

已知，关于伴随矩阵的核心公式如下：

$$A^{\ast }=|A|\cdot A^{-1}$$

根据上面的公式，我们可以推导出：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \left|A^{\ast }\right|=|A{|}^{n-1}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot A^{\ast }\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& A=(A^{-1}{)}^{-1}=(\frac{1}{|A|}\cdot A^{\ast }{)}^{-1}=|A|(A^{\ast }{)}^{-1}\end{array}$$

于是，先求解 $|A^{\ast }|$:

$$\left|A^{\ast }\right|=\left|\begin{array}{cccc}4& -2& 0& 0\\ -3& 1& 0& 0\\ 0& 0& \mathbf{\text{-4}}& 0\\ 0& 0& 0& \mathbf{\text{-1}}\end{array}\right|=$$

$$\left|A^{\ast }\right|=(\mathbf{\text{-1}})\cdot (-1{)}^{4+4}\left|\begin{array}{ccc}4& -2& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& \mathbf{\text{-4}}\end{array}\right|=$$

$$(\mathbf{\text{-1}})\cdot (\mathbf{\text{-4}})\cdot (-1{)}^{3+3}\left|\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right|=$$

Tips:

注意上面用绿色和橙色标记的数字所代表的运算准则。

$$4(4-6)=$$

$$-8=|A{|}^{4-1}=$$

$$|A{|}^3\Rightarrow |A|=-2$$

于是可知：

$$A^{-1}=\frac{-1}{2}\cdot A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}-2& 1& 0& 0\\ \frac{3}{2}& \frac{-1}{2}& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

进而，可以求得 $A$:

$$(A^{-1}\mid E)\Rightarrow$$

$$(E\mid A)\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{cccccccc}-2& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ \frac{3}{2}& \frac{-1}{2}& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{2}& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{llllllll}1& 0& 0& 0& 1& 2& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 3& 4& 0& 0\\ 0& 0& 01& 0& 0& 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$A=\left[\begin{array}{llll}1& 2& 0& 0\\ 3& 4& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$$

当然，我们也可以利用公式 $A=|A|(A^{\ast }{)}^{-1}$ 求解，结果和上面是一样的。

---