两个不同符号的无穷小变量相减不会导致更高阶无穷小的产生

一、题目

已知 $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0.0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1$, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续吗？偏导数存在吗？可微吗？

难度评级：

二、解析

一、证明函数在点 $(0,0)$ 点处的连续性

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1 \Rightarrow
$$

$$
\because \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \sqrt{x^{2}+y^{2}}=0
$$

$$
\therefore \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}}[f(x, y)-f(0,0)+2 x-y]=0
$$

$$
\because \quad \textcolor{orange}{\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}}(2 x-y)=0-0=0
}
$$

Tips:

如上，由于 $x$ 和 $y$ 是两个不同的变量，因此，$x$ 与 $y$ 相减并不会导致更高阶无穷小的产生。

$$
\therefore \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} f(x, y)-f(0,0)=0 \Rightarrow
$$

$$
\therefore \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} f(x, y)=f(0,0)
$$

综上，函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续。

二、证明偏导数不存在（不可微）

先求解关于 $x$ 的偏导数，令 $y = 0$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y=0}} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x}{|x|}=1.
$$

于是：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x}{x}=1 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{+x}+2=1 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{x}=-1
$$

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x}{|x|}=1 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x}{-x}=1 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{-x}+2=1 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{x}=1
$$

于是可知，$f^{\prime}_{x}(0,0)$ 不存在，同理可证 $f^{\prime}_{y}(0,0)$ 也不存在。

其实，为了证明函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的一阶偏导数不存在，我们可以使用特例法，例如，令：

$$
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}-2 x+y
$$

则上面的特例 $f(x, y)$ 可以满足题目已知条件：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0
$$

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1
$$

但是，当 $x \rightarrow 0, y=0$ 时，

$$
f(x, y)=|x|-2 x \tag{1}
$$

然而，上面的式子 (1) 中包含 “$|x|$”, 因此，其在点 $x = 0$ 处是不可导的，即，$f^{\prime}_{x}(0,0)$ 不存在。同理也可以用此特例证得 $f^{\prime}_{y}(0,0)$ 不存在。

---