两个不同符号的无穷小变量相减不会导致更高阶无穷小的产生

一、题目

已知 $\underset{(x,y)\to (0.0)}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,0)+2x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}=1$, 则 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续吗？偏导数存在吗？可微吗？

难度评级：

二、解析

一、证明函数在点 $(0,0)$ 点处的连续性

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,0)+2x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}=1\Rightarrow$$

$$\because \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\sqrt{x^2+y^2}=0$$

$$\therefore \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}[f(x,y)-f(0,0)+2x-y]=0$$

$$\because \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}(2x-y)=0-0=0$$

Tips:

如上，由于 $x$ 和 $y$ 是两个不同的变量，因此，$x$ 与 $y$ 相减并不会导致更高阶无穷小的产生。

$$\therefore \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}f(x,y)-f(0,0)=0\Rightarrow$$

$$\therefore \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}f(x,y)=f(0,0)$$

综上，函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续。

二、证明偏导数不存在（不可微）

先求解关于 $x$ 的偏导数，令 $y=0$, 则当 $x\to 0$ 时，有：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y=0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,0)+2x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}=1\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,0)+2x}{|x|}=1.$$

于是：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,0)+2x}{x}=1\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{+x}+2=1\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{x}=-1$$

又：

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,0)+2x}{|x|}=1\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,0)+2x}{-x}=1\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{-x}+2=1\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{x}=1$$

于是可知，$f_x^{\prime }(0,0)$ 不存在，同理可证 $f_y^{\prime }(0,0)$ 也不存在。

其实，为了证明函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处的一阶偏导数不存在，我们可以使用特例法，例如，令：

$$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}-2x+y$$

则上面的特例 $f(x,y)$ 可以满足题目已知条件：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}f(x,y)=0$$

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,0)+2x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}=1$$

但是，当 $x\to 0,y=0$ 时，

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(x,y)=|x|-2x\end{array}$$

然而，上面的式子 (1) 中包含 “$|x|$”, 因此，其在点 $x=0$ 处是不可导的，即，$f_x^{\prime }(0,0)$ 不存在。同理也可以用此特例证得 $f_y^{\prime }(0,0)$ 不存在。

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