两个不同符号的无穷小变量相减不会导致更高阶无穷小的产生

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 lim(x,y)(0.0)f(x,y)f(0,0)+2xyx2+y2=1, 则 f(x,y) 在点 (0,0) 处连续吗?偏导数存在吗?可微吗?

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二、解析 解析 - 荒原之梦

一、证明函数在点 (0,0) 点处的连续性

limx0y0f(x,y)f(0,0)+2xyx2+y2=1

limx0y0x2+y2=0

limx0y0[f(x,y)f(0,0)+2xy]=0

limx0y0(2xy)=00=0

Tips:

如上,由于 xy 是两个不同的变量,因此,xy 相减并不会导致更高阶无穷小的产生。

limx0y0f(x,y)f(0,0)=0

limx0y0f(x,y)=f(0,0)

综上,函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处连续。

二、证明偏导数不存在(不可微)

先求解关于 x 的偏导数,令 y=0, 则当 x0 时,有:

limx0y=0f(x,y)f(0,0)+2xyx2+y2=1

limx0f(x,y)f(0,0)+2x|x|=1.

于是:

limx0+f(x,y)f(0,0)+2xx=1

limx0+f(x,y)f(0,0)+x+2=1

limx0+f(x,y)f(0,0)x=1

又:

limx0f(x,y)f(0,0)+2x|x|=1

limx0f(x,y)f(0,0)+2xx=1

limx0f(x,y)f(0,0)x+2=1

limx0f(x,y)f(0,0)x=1

于是可知,fx(0,0) 不存在,同理可证 fy(0,0) 也不存在。

其实,为了证明函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处的一阶偏导数不存在,我们可以使用特例法,例如,令:

f(x,y)=x2+y22x+y

则上面的特例 f(x,y) 可以满足题目已知条件:

limx0y0f(x,y)=0

limx0y0f(x,y)f(0,0)+2xyx2+y2=1

但是,当 x0,y=0 时,

(1)f(x,y)=|x|2x

然而,上面的式子 (1) 中包含 “|x|”, 因此,其在点 x=0 处是不可导的,即,fx(0,0) 不存在。同理也可以用此特例证得 fy(0,0) 不存在。


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