可微（全微分存在）但不一定有偏导数连续

一、题目

已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？偏导数连续吗？

难度评级：

二、解析

Tips:

关于可微、可偏导于连续之间的关系，可以查阅《彻底搞明白一元和二元函数中可微、可（偏）导、连续与极限存在之间的关系》这篇文章；

关于如何判断函数在一点处是否可微，可以查阅《判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！》这篇文章。

首先，判断函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处是否可微：

根据可微（全微分存在的定义）：

$$
f(0+\Delta x, 0+\Delta y)-f(0,0)=
$$

$$
\Delta x \cdot \Delta y \cdot \sin \frac{1}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=
$$

$$
\Delta x \cdot \Delta y \cdot \sin \frac{1}{\rho}
$$

又：

$$
\Delta x \cdot \Delta y \cdot \sin \frac{1}{\rho} =
$$

$$
\rho^{2} \cdot \frac{\Delta x}{\varphi} \cdot \frac{\Delta y}{\rho} \cdot \sin \frac{1}{\varphi}
$$

且：

$$
\left|\frac{\Delta x}{\rho}\right|=\left|\frac{\Delta x}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}\right| \leqslant 1
$$

$$
\left|\frac{\Delta y}{\rho}\right|=\left|\frac{\Delta y}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}\right| \leqslant 1
$$

$$
\left|\sin \frac{1}{\varphi}\right| \leqslant 1
$$

于是：

$$
\left|\frac{\Delta x}{\varphi} \cdot \frac{\Delta y}{\varphi} \cdot \sin \frac{1}{\varphi}\right| \leqslant 1
$$

进而：

$$
f(0+\Delta x, 0+\Delta y)-f(0,0)=\varphi^{2}=o(\rho)
$$

其中，$\rho \rightarrow 0$, $o(\rho)$ 是 $\rho$ 的高阶无穷小。

即：

$$
f(0+\Delta x, 0+\Delta y)-f(0,0)= 0 \cdot \Delta x + 0 \cdot \Delta y + o(\rho)
$$

综上可知，函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处可微（全微分存在）。

接着，我们来考察函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数是否连续。

已知，当 $x^{2}+y^{2}=0$ 时，有：

$$
A=f_{x}^{\prime}(0,0)=0
$$

$$
B=f_{y}^{\prime}(0,0)=0
$$

当 $x^{2}+y^{2} \neq 0$ 时，有：

$$
f_{x}^{\prime}=
$$

$$
y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+x y \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \times \frac{-2 x}{2\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} =
$$

$$
y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-\frac{y x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
$$

之后，根据 $x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 中 $x$ 于 $y$ 的对称性或者说等价性（呼唤 $x$ 和 $y$ 之后仍和原式相等），可得：

$$
f^{\prime} _{y}=
$$

$$
x \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-\frac{x y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
$$

于是：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y=x}} f^{\prime} _{y}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y=x}}\left[x \sin \frac{1}{\sqrt{2} x}-\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cos \frac{1}{\sqrt{2} x}\right] \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y=x}} f^{\prime} _{y} = \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y=x}} \left[0-\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cos \frac{1}{\sqrt{2} x}\right] \Rightarrow \text{震荡无极限}
$$

于是可知，极限 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}$ 不存在，因此 $f^{\prime}_{y}$ 在点 $(0, 0)$ 处不连续，同理可得 $f^{\prime}_{x}$ 在点 $(0, 0)$ 处也不连续，因此：

函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的全微分存在，但一阶偏导数 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 在该点处不连续。

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