可微（全微分存在）但不一定有偏导数连续

一、题目

已知 $f(x,y)=\{\begin{array}{cc}xy\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},& x^2+y^2\ne 0\\ 0,& x^2+y^2=0\end{array}$, 则 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？偏导数连续吗？

难度评级：

二、解析

Tips:

关于可微、可偏导于连续之间的关系，可以查阅《彻底搞明白一元和二元函数中可微、可（偏）导、连续与极限存在之间的关系》这篇文章；

关于如何判断函数在一点处是否可微，可以查阅《判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！》这篇文章。

首先，判断函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处是否可微：

根据可微（全微分存在的定义）：

$$f(0+\mathrm{\Delta }x,0+\mathrm{\Delta }y)-f(0,0)=$$

$$\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }y\cdot \sin \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}}=$$

$$\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }y\cdot \sin \frac{1}{\rho }$$

又：

$$\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }y\cdot \sin \frac{1}{\rho }=$$

$${\rho }^2\cdot \frac{\mathrm{\Delta }x}{\phi }\cdot \frac{\mathrm{\Delta }y}{\rho }\cdot \sin \frac{1}{\phi }$$

且：

$$\left|\frac{\mathrm{\Delta }x}{\rho }\right|=\left|\frac{\mathrm{\Delta }x}{\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}}\right|⩽1$$

$$\left|\frac{\mathrm{\Delta }y}{\rho }\right|=\left|\frac{\mathrm{\Delta }y}{\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}}\right|⩽1$$

$$|\sin \frac{1}{\phi }|⩽1$$

于是：

$$|\frac{\mathrm{\Delta }x}{\phi }\cdot \frac{\mathrm{\Delta }y}{\phi }\cdot \sin \frac{1}{\phi }|⩽1$$

进而：

$$f(0+\mathrm{\Delta }x,0+\mathrm{\Delta }y)-f(0,0)={\phi }^2=o(\rho )$$

其中，$\rho \to 0$, $o(\rho )$ 是 $\rho$ 的高阶无穷小。

即：

$$f(0+\mathrm{\Delta }x,0+\mathrm{\Delta }y)-f(0,0)=0\cdot \mathrm{\Delta }x+0\cdot \mathrm{\Delta }y+o(\rho )$$

综上可知，函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微（全微分存在）。

接着，我们来考察函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数是否连续。

已知，当 $x^2+y^2=0$ 时，有：

$$A=f_x^{\prime }(0,0)=0$$

$$B=f_y^{\prime }(0,0)=0$$

当 $x^2+y^2\ne 0$ 时，有：

$$f_x^{\prime }=$$

$$y\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}+xy\cos \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\times \frac{-2x}{2{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}}=$$

$$y\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{y{x}^2}{{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}}\cos \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

之后，根据 $xy\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 中 $x$ 于 $y$ 的对称性或者说等价性（呼唤 $x$ 和 $y$ 之后仍和原式相等），可得：

$$f_y^{\prime }=$$

$$x\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x{y}^2}{{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}}\cos \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

于是：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0^{+}\\ y=x\end{array}}{lim}{f}_y^{\prime }=\underset{\begin{array}{c}x\to 0^{+}\\ y=x\end{array}}{lim}[x\sin \frac{1}{\sqrt{2}x}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cos \frac{1}{\sqrt{2}x}]\Rightarrow$$

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0^{+}\\ y=x\end{array}}{lim}{f}_y^{\prime }=\underset{\begin{array}{c}x\to 0^{+}\\ y=x\end{array}}{lim}[0-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cos \frac{1}{\sqrt{2}x}]\Rightarrow \text{震荡无极限}$$

于是可知，极限 $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}$ 不存在，因此 $f_y^{\prime }$ 在点 $(0,0)$ 处不连续，同理可得 $f_x^{\prime }$ 在点 $(0,0)$ 处也不连续，因此：

函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处的全微分存在，但一阶偏导数 $f_x^{\prime }$ 和 $f_y^{\prime }$ 在该点处不连续。

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