可微(全微分存在)但不一定有偏导数连续

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 f(x,y)={xysin1x2+y2,x2+y200,x2+y2=0, 则 f(x,y) 在点 (0,0) 处可微吗?偏导数连续吗?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

Tips:

关于可微、可偏导于连续之间的关系,可以查阅《彻底搞明白一元和二元函数中可微、可(偏)导、连续与极限存在之间的关系》这篇文章;

关于如何判断函数在一点处是否可微,可以查阅《判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住?其实你已经记住了!》这篇文章。

首先,判断函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处是否可微:

根据可微(全微分存在的定义):

f(0+Δx,0+Δy)f(0,0)=

ΔxΔysin1Δx2+Δy2=

ΔxΔysin1ρ

又:

ΔxΔysin1ρ=

ρ2ΔxφΔyρsin1φ

且:

|Δxρ|=|ΔxΔx2+Δy2|1

|Δyρ|=|ΔyΔx2+Δy2|1

|sin1φ|1

于是:

|ΔxφΔyφsin1φ|1

进而:

f(0+Δx,0+Δy)f(0,0)=φ2=o(ρ)

其中,ρ0, o(ρ)ρ 的高阶无穷小。

即:

f(0+Δx,0+Δy)f(0,0)=0Δx+0Δy+o(ρ)

综上可知,函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处可微(全微分存在)。

接着,我们来考察函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处的偏导数是否连续。

已知,当 x2+y2=0 时,有:

A=fx(0,0)=0

B=fy(0,0)=0

x2+y20 时,有:

fx=

ysin1x2+y2+xycos1x2+y2×2x2(x2+y2)32=

ysin1x2+y2yx2(x2+y2)32cos1x2+y2

之后,根据 xysin1x2+y2xy 的对称性或者说等价性(呼唤 xy 之后仍和原式相等),可得:

fy=

xsin1x2+y2xy2(x2+y2)32cos1x2+y2

于是:

limx0+y=xfy=limx0+y=x[xsin12x122cos12x]

limx0+y=xfy=limx0+y=x[0122cos12x]震荡无极限

于是可知,极限 limx0y0 不存在,因此 fy 在点 (0,0) 处不连续,同理可得 fx 在点 (0,0) 处也不连续,因此:

函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处的全微分存在,但一阶偏导数 fxfy 在该点处不连续。


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