如果做对这道题你就真的理解了函数在一点处极限的定义了

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x\sin \frac{1}{x})}{x\sin \frac{1}{x}}=?$$

难度评级：

二、解析

首先：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x\sin \frac{1}{x})}{x\sin \frac{1}{x}}\ne \underset{x\to 0}{lim}\frac{x\sin \frac{1}{x}}{x\sin \frac{1}{x}}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x\sin \frac{1}{x})}{x\sin \frac{1}{x}}\ne 1$$

因为，根据函数在一点处极限的定义可知，若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限存在，那么函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 内的也是处处存在（有定义）的。

但是，对 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x\sin \frac{1}{x})}{x\sin \frac{1}{x}}$ 而言，当 $\underset{x\to 0}{lim}x\sin \frac{1}{x}=0$ 时：

$$\frac{1}{x}=n\pi \Rightarrow x=\frac{1}{n\pi }$$

也就是说，题目所给的式子在 $x=\frac{1}{n\pi }$ 处是没有定义的。

那么，无论 $\delta$ 有多小（$\delta >0$），在 $0$ 的去心邻域 $(-\delta ,0)\cup (0,\delta )$ 内，一定存在：

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n\pi }\in \mathring{U}(0,\delta )$$

因此，极限 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x\sin \frac{1}{x})}{x\sin \frac{1}{x}}$ 不存在。

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