如果做对这道题你就真的理解了函数在一点处极限的定义了

一、题目

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x}\right)}{x \sin \frac{1}{x}} = ?
$$

难度评级：

二、解析

首先：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x}\right)}{x \sin \frac{1}{x}} \neq \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x \sin \frac{1}{x}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x}\right)}{x \sin \frac{1}{x}} \neq 1
$$

因为，根据函数在一点处极限的定义可知，若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限存在，那么函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的去心邻域 $\mathring{U} (x_{0}, \delta)$ 内的也是处处存在（有定义）的。

但是，对 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x}\right)}{x \sin \frac{1}{x}}$ 而言，当 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=0$ 时：

$$
\frac{1}{x}=n \pi \Rightarrow x=\frac{1}{n \pi}
$$

也就是说，题目所给的式子在 $x=\frac{1}{n \pi}$ 处是没有定义的。

那么，无论 $\delta$ 有多小（$\delta>0$），在 $0$ 的去心邻域 $(- \delta, 0) \cup (0, \delta)$ 内，一定存在：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n \pi} \in \mathring{U}(0, \delta)
$$

因此，极限 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x}\right)}{x \sin \frac{1}{x}}$ 不存在。

---