遇到变限积分就想着怎么求导吗?一般是这样的,但也可以试试积分哦

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,当 x>2f(x) 连续,且满足 2f(x)[0xf(t)dt+12]=(x+1)ex(x+2)2, 则当 x>2 时, f(x)=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

Tips:

在含有变限积分的题目中,我们一般可以尝试通过求导的方式解题,但是,对本题而言,求导运算显然很复杂,因此,我们可以尝试从另一个角度解本题,那就是“积分”。

当然,本题直接进行积分运算,写起来也比较复杂,因此,我们可以通过代换的方式,直接令 F(x)=0xf(t) dt+12——这种代换的方式可以很显著的快速降低式子的复杂程度,方便我们接下来的计算。

令:

F(x)=0xf(t) dt+12

于是:

F(x)=f(x)

进而:

2f(x)F(x)=(x+1)ex(x+2)2

2F(x)F(x)=(x+1)ex(x+2)2

2F(x) d[F(x)]=(x+1)ex(x+2)2 dx

F2(x)=(x+1)ex(x+2)2 dx

又:

[1(x+2)]x=1(x+2)2

于是:

F2(x)=(x+1)ex d(1x+2)

F2(x)=[(x+1)exx+2(x+2)exx+2 dx]

F2(x)=ex(x+1)ex(x+2)+C

F2(x)=[(x+2)(x+1)]ex(x+2)+C

F2(x)=exx+2+C

又:

x=0F(0)=00f(t) dt+12=12

F2(0)=1212+C=12C=0

因此:

F2(x)=exx+2F(x)=±exx+2

又:

F(0)=12>0F(x)exx+2

F(x)=exx+2

综上:

2f(x)exx+2=(x+1)ex(x+2)2

2f(x)=(x+1)ex(x+2)2x+2ex

f(x)=12(x+1)ex(x+2)2x+2ex=(x+1)ex22(x+2)32


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