这道题看似不能用三角函数代换，但其实题目中已经给我们提示了：把未知变已知，把不同变相同

一、题目

$$
I = \int_{3}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x-1)^{4} \sqrt{x^{2}-2 x}} = ?
$$

难度评级：

二、解析

Tips:

根号下的 “$x^{2}-2 x$” 看似不能通过三角函数代换的方式去根号，但是，其实题目中其实已经给了我们提示了，这个提示就是 “$(x-1)^{4}$”——在做题的时候，我们要尝试把未知变已知，把不同变相同。

已知：

$$
I=\int_{3}^{+\infty} \frac{1}{(x-1)^{4} \sqrt{x^{2}-2 x}} \mathrm{~ d} x
$$

又：

$$
(x-1)^{2}=x^{2}+1-2 x
$$

于是：

$$
I=\int_{3}^{+\infty} \frac{1}{(x-1)^{4} \sqrt{(x-1)^{2}-1}} \mathrm{~ d} x
$$

接着，进行三角代换：

$$
x-1=\frac{1}{\cos t}, \ (x-1)^{2}=\frac{1}{\cos ^{2} t}, \ (x-1)^{2}-1=\frac{\sin ^{2} t}{\cos ^{2} t} \Rightarrow
$$

$$
x=\frac{1}{\cos t}+1 \Rightarrow
$$

$$
x=3 \Rightarrow \cos t=\frac{1}{2} \Rightarrow t=\frac{\pi}{3}
$$

$$
x \rightarrow+\infty \Rightarrow t \rightarrow \frac{\pi}{2}
$$

$$
\mathrm{~ d} x=\frac{\sin t}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t
$$

于是：

$$
I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\frac{1}{\cos ^{4} t} \cdot \frac{\sin t}{\cos t}} \cdot \frac{\sin t}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{5} t}{\sin t} \cdot \frac{\sin t}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{3} t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\sin ^{2} t\right) \mathrm{~ d} (\sin t)=
$$

$$
\sin t-\left.\frac{1}{3} \sin ^{3} t\right|_{\frac{\pi}{3}} ^{\frac{\pi}{2}}=
$$

$$
1-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{3} \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}=\frac{2}{3}-\frac{3 \sqrt{3}}{8}
$$

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