根据二次型的秩求解二次型矩阵中的未知数：矩阵中有一个不为零的子式你能找到吗？

一、题目

已知，二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ $=$ $2x_1^2+x_2^2+2x_3^2+2x_1{x}_2+2t{x}_2{x}_3$ 的秩为 $2$, 则 $t=?$

难度评级：

二、解析

$$A=\left[\begin{array}{lll}2& 1& 0\\ 1& 1& t\\ 0& t& 2\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 0& t\\ 0& t& 2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$2–2t^2=0\Rightarrow t\pm 1$$

验证：

$$t=1\Rightarrow A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 0& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right]\Rightarrow \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right|=1\ne 0$$

$$t=-1\Rightarrow A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 0& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]\Rightarrow \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right|=1\ne 0$$

因此，满足题目要求的答案是：

$$t=\pm 1$$

当然，其实我们直接从 $A=\left[\begin{array}{lll}2& 1& 0\\ 1& 1& t\\ 0& t& 2\end{array}\right]$ 也可以看出存在子式 $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=1\ne 0$, 从而判断出，无论 $t$ 的取值如何，$r(A)⩾2$ 一定成立。

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