根据二次型的秩求解二次型矩阵中的未知数：矩阵中有一个不为零的子式你能找到吗？

一、题目

已知，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 t x_{2} x_{3}$ 的秩为 $2$, 则 $t=?$

难度评级：

二、解析

$$
A=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & t \\ 0 & t & 2\end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & t \\ 0 & t & 2\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
2 – 2t^{2} = 0 \Rightarrow t \pm 1
$$

验证：

$$
t=1 \Rightarrow A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right] \Rightarrow\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right|=1 \neq 0
$$

$$
t=-1 \Rightarrow A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{array}\right] \Rightarrow\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right|=1 \neq 0
$$

因此，满足题目要求的答案是：

$$
t= \pm 1
$$

当然，其实我们直接从 $A=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & t \\ 0 & t & 2\end{array}\right]$ 也可以看出存在子式 $\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right|=1 \neq 0$, 从而判断出，无论 $t$ 的取值如何，$r(A) \geqslant 2$ 一定成立。

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