特征值各不相同的矩阵 A 一定可以相似对角化，且与 A 相似的对角矩阵的主对角线就是由 A 的特征值所组成

一、题目

已知 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 3\\ 0& 4& 2\end{array}\right]$, 则和矩阵 $\mathit{A}$ 相似的对角矩阵是（）

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二、解析

$$|\lambda E-A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 0& 0\\ 0& \lambda -1& -3\\ 0& -4& \lambda -2\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -1{)}^2(\lambda -2)-12(\lambda -1)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -1)[(\lambda -1)(\lambda -2)-12]=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -1)({\lambda }^2-3\lambda -10)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -1)(\lambda +2)(\lambda -5)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=-2,{\lambda }_3=5$$

于是，所求的对角矩阵为：

$$\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$$

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