特征值各不相同的矩阵 A 一定可以相似对角化，且与 A 相似的对角矩阵的主对角线就是由 A 的特征值所组成

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 2\end{array}\right]$, 则和矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相似的对角矩阵是（）

难度评级：

二、解析

$$
|\lambda E-A|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & -3 \\ 0 & -4 & \lambda-2\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)^{2}(\lambda-2)-12(\lambda-1)=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)[(\lambda-1)(\lambda-2)-12]=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)\left(\lambda^{2}-3 \lambda-10\right)=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)(\lambda+2)(\lambda-5)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}=1, \ \lambda_{2}=-2, \ \lambda_{3}=5
$$

于是，所求的对角矩阵为：

$$
\left[\begin{array}{l}1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right]
$$

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