已知特征值求矩阵中未知数时就不要想着怎么凑出来简化版的求特征值的式子了

一、题目

已知 $-2$ 是矩阵 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& -2& -2\\ 2& x& -2\\ -2& 2& 6\end{array}\right]$ 的特征值，则 $x=?$

难度评级：

二、解析

$$|\lambda E-A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 2& 2\\ -2& \lambda -x& 2\\ 2& -2& \lambda -6\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda +2& 0& \lambda -6\\ -2& \lambda -x& 2\\ 0& \lambda -x-2& \lambda -4\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda +2& 0& 2\lambda -4\\ -2& \lambda -x& 0\\ 0& \lambda -x-2& \lambda -4\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda +2)(\lambda -x)(\lambda -4)-2(2\lambda –4)(\lambda -x-2)=0$$

Tips:

其实下面这一步的化简已经不必要了，因为我们还没有代入 $\lambda$ 的值，我们的目的也不是求解 $\lambda$ 的值。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (\lambda +2)(\lambda -x)(\lambda -4)-4(\lambda -2)(\lambda -x-2)=0\end{array}$$

当 $\lambda =-2$ 时，由 $(1)$ 式得：

$$-4\times (-4)(-4-x)=0\Rightarrow$$

$$-16(4+x)=0\Rightarrow$$

$$x=-4$$

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