什么是可交换的矩阵？就是使 AB = BA 成立的矩阵

一、题目

设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$, 则和矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可交换的矩阵是（）

难度评级：

二、解析

注意：已知有矩阵 $A$ 和 $B$. 一般情况下，$AB \neq BA$, 但是，仍然存在一些矩阵，会使 $AB = BA$ 成立，这类矩阵就被称为“可交换的矩阵”。

根据题意，可得：

$$
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]
$$

设：

$$
\quad B=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]
$$

$$
A B=B A \Rightarrow
$$

$$
A B=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]=
$$

$$
\left[\begin{array}{cc}a+c & b+d \\ c & d\end{array}\right]
$$

$$
B A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]=
$$

$$
\left[\begin{array}{ll}a & a+b \\ c & c+d\end{array}\right]
$$

因此：

$$
A B=B A \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a+c=a \\ b+d=a+b . \\ c+d=d \\ c=c\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}c=0 \\ a=d .\end{array}\right.\right.
$$

综上：

$$
B=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & a\end{array}\right]
$$

其中，$a$ 和 $b$ 为任意常数。

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