什么是可交换的矩阵？就是使 AB = BA 成立的矩阵

一、题目

设 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$, 则和矩阵 $\mathit{A}$ 可交换的矩阵是（）

难度评级：

二、解析

注意：已知有矩阵 $A$ 和 $B$. 一般情况下，$AB\ne BA$, 但是，仍然存在一些矩阵，会使 $AB=BA$ 成立，这类矩阵就被称为“可交换的矩阵”。

根据题意，可得：

$$A=\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$$

设：

$$B=\left[\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

$$AB=BA\Rightarrow$$

$$AB=\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right]=$$

$$\left[\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ c& d\end{array}\right]$$

$$BA=\left[\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]=$$

$$\left[\begin{array}{ll}a& a+b\\ c& c+d\end{array}\right]$$

因此：

$$AB=BA\Rightarrow \{\begin{array}{l}a+c=a\\ b+d=a+b.\\ c+d=d\\ c=c\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}c=0\\ a=d.\end{array}$$

综上：

$$B=\left[\begin{array}{ll}a& b\\ 0& a\end{array}\right]$$

其中，$a$ 和 $b$ 为任意常数。

---