求解基础解系的方法：每次令一个自由未知数值为 1, 其余自由未知数值为 0, 求解对应的非自由未知数的值（极大线性无关组对应非自由未知数）

一、题目

四元齐次线性方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_4=0\\ x_3-3x_4=0\end{array}$ 的基础解系是（）

难度评级：

二、解析

Tips:

解答本题的相关基础知识可以参阅：《求解线性方程组基础解系的顺口溜》

首先，写出系数矩阵：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_4=0\\ x_3–3x_4=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1+0+0+2x_4=0\\ 0+0+x_3-3x_4=0\end{array}$$

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 1& -3\end{array}\right]\Rightarrow$$

于是：

$$A\Rightarrow \left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\\ 1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 1& -3\end{array}\right]$$

注意：$A\ne \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\\ 2& -3\end{array}\right]$

进而可知，自由未知数为：$x_2,x_4$, 非自由微指数为：$x_1,x_3$.

因此：

$$x_2=1,x_4=0\Rightarrow x_3=0,x_1=0$$

$$x_2=0,x_4=1\Rightarrow x_3=3,x_1=-2$$

综上，基础解系为：

$$(0,1,0,0{)}^{\mathrm{\top }},(-2,0,3,1{)}^{\mathrm{\top }}$$

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