求解基础解系的方法：每次令一个自由未知数值为 1, 其余自由未知数值为 0, 求解对应的非自由未知数的值（极大线性无关组对应非自由未知数）

一、题目

四元齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{4}=0 \\ x_{3}-3 x_{4}=0\end{array}\right.$ 的基础解系是（）

难度评级：

二、解析

Tips:

解答本题的相关基础知识可以参阅：《求解线性方程组基础解系的顺口溜》

首先，写出系数矩阵：

$$
\left\{\begin{array} { l }
{ x _ { 1 } + 2 x _ { 4 } = 0 } \\
{ x _ { 3 } – 3 x _ { 4 } = 0 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
x_{1}+0+0+2 x_{4}=0 \\
0+0+x_{3}-3 x_{4}=0
\end{array}\right.\right.
$$

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -3
\end{array}\right]
\Rightarrow
$$

于是：

$$
A \Rightarrow\left[\begin{array}{cccc}x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right]
$$

注意：$A \textcolor{red}{\neq} \left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 1 \\
2 & -3
\end{array}\right]$

进而可知，自由未知数为：$x_{2}, x_{4}$, 非自由微指数为：$x_{1}, x_{3}$.

因此：

$$
x_{2}=1, x_{4}=0 \Rightarrow x_{3}=0, x_{1}=0
$$

$$
x_{2}=0, x_{4}=1 \Rightarrow x_{3}=3, x_{1}=-2
$$

综上，基础解系为：

$$
(0,1,0,0)^{\top}, \quad (-2,0,3,1)^{\top}
$$

---