求解以 Y 轴为区间绕 Y 轴旋转的曲线所形成的立体的体积

一、题目

由曲线 $y=1-(x-1{)}^2$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 可以表示成什么？

示意图：

难度评级：

二、解析

本题对应的公式为：

$$V_y=\pi {\int }_c^d{x}^2(y)\mathrm{d}y$$

又：

$$y=1-(x-1{)}^2=(x-1{)}^2=1-y\Rightarrow$$

$$(x-1{)}^2=\pm \sqrt{1-y}\Rightarrow x=1\pm \sqrt{1-y}$$

其中：

$$x\in (0,1)\Rightarrow x=1-\sqrt{1-y}$$

$$x\in (1,2)\Rightarrow x=1+\sqrt{1-y}$$

因此：

$$V_1=\pi {\int }_0^1(1+\sqrt{1-y}{)}^2\mathrm{d}y$$

$$V_2=\pi {\int }_0^1(1-\sqrt{1-y}{)}^2\mathrm{d}y$$

于是：

$$V=V_1-V_2\Rightarrow$$

$$V={\int }_0^1\pi [(1+\sqrt{1-y}{)}^2-(1-\sqrt{1-y}{)}^2]\mathrm{d}y$$

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