使用放缩法判断反常积分的敛散性：大缩小更缩，小散大更散

一、题目

判断下面反常积分的敛散性：

(1) ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-1}}$.

(2) ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x(x-1)}}$.

(3) ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-1}}$.

(4) ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{x(x^2-1)}$.

难度评级：

二、解析

基础知识

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x\{\begin{array}{ll}\text{ 收敛, }& p>1\\ \text{ 发散, }& p\le 1\end{array}(a>0)$$

$${\int }_a^b\frac{1}{(x-a{)}^p}\mathrm{d}x\{\begin{array}{ll}\text{ 收敛, }& p<1\\ \text{ 发散, }& p⩾1\end{array}$$

第 (1) 个式子

当 $x>1$ 时：

$$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}>\frac{1}{\sqrt{x^2}}=\frac{1}{x}$$

$${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}\Rightarrow \mathrm{发}\mathrm{散}\Rightarrow$$

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{发}\mathrm{散}$$

第 (2) 个式子

当 $x>1$ 时：

$$\frac{1}{\sqrt{x(x-1)}}=\frac{1}{\sqrt{x^2-x}}>\frac{1}{\sqrt{x^2}}=\frac{1}{x}$$

$${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}\Rightarrow \mathrm{发}\mathrm{散}\Rightarrow {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{x(x-1)}}\Rightarrow \mathrm{发}\mathrm{散}$$

第 (3) 个式子

当 $x>2$ 时：

$$0<\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}}<\frac{1}{x^2\cdot \sqrt{3}}\Rightarrow$$

$$\frac{1}{\sqrt{3}}{\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{收}\mathrm{敛}\Rightarrow$$

$${\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{收}\mathrm{敛}$$

当 $1<x\le 2$ 时：

$$0<\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{x^2\sqrt{(x+1)(x-1)}}=$$

$$\frac{1}{x^2\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x-1}}<\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{x-1}}$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}{\int }_1^2\frac{1}{\sqrt{x-1}}\mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{收}\mathrm{敛}\Rightarrow$$

$${\int }_1^2\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{收}\mathrm{敛}.$$

综上：

$${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{收}\mathrm{敛}$$

第 (4) 个式子

无效的解法：

$$\frac{1}{x(x^2-1)}=\frac{1}{x^3-x}>\frac{1}{x^3}$$

虽然：

$${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^3}\Rightarrow \mathrm{收}\mathrm{敛}$$

但是，我们据此是无法判断 ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^3-x}$ 的敛散性的。

有效的解法：

$$\frac{1}{x(x^2-1)}=\frac{1}{x(x+1)(x-1)}$$

当 $1<x<2$ 时：

$$\frac{1}{x(x+1)(x-1)}>\frac{1}{6(x-1)}$$

由于：

$$\frac{1}{6}{\int }_1^2\frac{1}{x-1}\mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{发}\mathrm{散}\Rightarrow$$

因此：

$${\int }_1^2\frac{1}{x(x^2-1)}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x(x^2-1)}\mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{发}\mathrm{散}$$

Tips:

若要证明积分收敛，则必须在整个积分区间内都收敛才行，但如果要证明积分发散，则只需要证明其在积分区间的一部分中发散即可。

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