求解参数方程任意一点处的曲率

一、题目

已知 $y=y(x)$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\ln (1+t^2)\\ y=\arctan t\end{array}$ 确定，则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=?$, $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=?$, $y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $K=?$

难度评级：

二、解析

1

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{1+t^2}$$

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2t}{1+t^2}=\frac{t}{1+t^2}$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{1+t^2}\cdot \frac{1+t^2}{t}=\frac{1}{t}$$

2

$$\frac{d^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{d}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=\frac{d}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=$$

$$\frac{d}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{t}\right)\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{-1}{t^2}\cdot \frac{1+t^2}{t}=\frac{-1-t^2}{t^3}$$

3

$$K=\frac{\left|y^{\prime \prime }\right|}{{(1+y^{\prime 2})}^{\frac{3}{2}}}=\left|\frac{-1-t^2}{t^3}\right|\times \frac{1}{{(1+\frac{1}{t^2})}^{\frac{3}{2}}}=$$

$$\frac{1+t^2}{\left|t^3\right|}\times \frac{1}{{\left(\frac{t^2+1}{t^2}\right)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{1+t^2}{\left|t^3\right|}\times \frac{|t{|}^3}{{(t^2+1)}^{\frac{3}{2}}}=$$

Tips:

平方运算自带绝对值效果，所以：$(t^2{)}^{\frac{3}{2}}=|t{|}^3$

$$\frac{1+t^2}{{(1+t^2)}^{\frac{3}{2}}}={(1+t^2)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\Rightarrow$$

$$k=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}.$$

拓展资料

1. 《什么是曲率？》
2. 《曲率半径的公式》

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