这道题千万不能先求解特征值再求解特征向量：直接用排除法即可

一、题目

以下向量不可能是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & 5\end{array}\right]$ 的特征向量的是哪一个？

(A) $(-1,1,0)^{\mathrm{\top}}$.

(B) $(1,-2,3)^{\mathrm{\top}}$.

(C) $(1,2,-1)^{\mathrm{\top}}$.

(D) $(3,-3,0)^{\mathrm{\top}}$.

难度评级：

二、解析

首先，由于 $(A)$ 与 $(D)$ 对应的向量成比例，因此，如果选 $(A)$ 则必须也选 $(D)$, 这对于单选题而言是不可能的，排除 $(A)$ 和 $(D)$.

又经过验证可知，$(B)$ 选项中的向量满足特征值的定义式 $A \alpha = \lambda \alpha$:

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6 \\ -12 \\ 18\end{array}\right]=6\left[\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 3\end{array}\right]
$$

于是可知，本体应该选 $(C)$.

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