一、题目
曲线 $y=\mathrm{e}^{x^{3}}$ 过原点的切线是（）
难度评级：
二、解析 
首先，可以判断出曲线 $y$ 不过点 $(0,0)$, 因此，我们首先要求出来切点——
设切点为 $\left(x_{0}, e^{x_{0}^{3}}\right)$.
又：
$$
y^{\prime}=3 x^{2} e^{x^{3}}
$$
因此：
$$
y-y_{0}=k\left(x-x_{0}\right) \Rightarrow
$$
$$
y-e^{x_{0}^{3}}=3 x_{0}^{2} e^{x_{0}^{3}}\left(x-x_{0}\right)
$$
把 $x=0, y=0$ 代入上式：
$$
0 – e^{x_{0}^{3}}=3 x_{0}^{2} e^{x_{0}^{3}} \cdot\left(-x_{0}\right) \Rightarrow
$$
$$
0=e^{x_{0}^{3}}-3 x_{0}^{3} e^{x_{0}^{3}} \Rightarrow 0=1-3 x_{0}^{3} \Rightarrow
$$
$$
x_{0}^{3}=\frac{1}{3} \Rightarrow
$$
$$
y_{0}=e^{\frac{1}{3}} \Rightarrow
$$
$$
k=3 \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{2}{3}} \cdot e^{\frac{1}{3}} \Rightarrow
$$
$$
y-e^{\frac{1}{3}}=3\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{2}{3}} \cdot e^{\frac{1}{3}}\left[x-\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\right] \Rightarrow
$$
$$
y=3^{\frac{1}{3}} e^{\frac{1}{3}}\left[x-\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\right]+e^{\frac{1}{3}} \Rightarrow
$$
$$
y=e^{\frac{1}{3}}\left(3^{\frac{1}{3}} x-3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{-1}{3}}+1\right)=3^{\frac{1}{3}} e^{\frac{1}{3}} x = \sqrt[3]{3} e^{\frac{1}{3}} x.
$$
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