求曲线过某点处的切线：先确定该点是否在曲线上，如果该点不在曲线上，则先求出切点，再求解切线方程

一、题目

曲线 $y={\mathrm{e}}^{x^3}$ 过原点的切线是（）

难度评级：

二、解析

首先，可以判断出曲线 $y$ 不过点 $(0,0)$, 因此，我们首先要求出来切点——

设切点为 $(x_0,e^{x_0^3})$.

又：

$$y^{\prime }=3x^2{e}^{x^3}$$

因此：

$$y-y_0=k(x-x_0)\Rightarrow$$

$$y-e^{x_0^3}=3x_0^2{e}^{x_0^3}(x-x_0)$$

把 $x=0,y=0$ 代入上式：

$$0–e^{x_0^3}=3x_0^2{e}^{x_0^3}\cdot (-x_0)\Rightarrow$$

$$0=e^{x_0^3}-3x_0^3{e}^{x_0^3}\Rightarrow 0=1-3x_0^3\Rightarrow$$

$$x_0^3=\frac{1}{3}\Rightarrow$$

$$y_0=e^{\frac{1}{3}}\Rightarrow$$

$$k=3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{2}{3}}\cdot e^{\frac{1}{3}}\Rightarrow$$

$$y-e^{\frac{1}{3}}=3{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{2}{3}}\cdot e^{\frac{1}{3}}[x-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{1}{3}}]\Rightarrow$$

$$y=3^{\frac{1}{3}}{e}^{\frac{1}{3}}[x-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{1}{3}}]+e^{\frac{1}{3}}\Rightarrow$$

$$y=e^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{1}{3}}x-3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{-1}{3}}+1)=3^{\frac{1}{3}}{e}^{\frac{1}{3}}x=\sqrt[3]{3}{e}^{\frac{1}{3}}x.$$

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