你知道怎么使用泰勒公式求解高阶导数吗

一、题目

已知 $f(x)=x^{100} \mathrm{e}^{x^{2}}$, 则 $f^{(200)}(0)=?$

难度评级：

二、解析

首先，根据泰勒公式可知：

$e^{x}$ 在点 $x = 0$ 处可以展开为：

$$
e^{x} = \sum_{0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} + o(x^{n})
$$

于是：

$$
e^{x^{2}} = \sum_{0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} + o(x^{2n})
$$

进而：

$$
f(x) = x^{100} \Big[ \sum_{0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} + o(x^{2n}) \Big] \Rightarrow
$$

$$
f(x) = \sum_{0}^{\infty} \frac{x^{2n + 100}}{n!} + o(x^{2n + 100})
$$

即：

$$
f(x) = \frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{102}}{2!} + \frac{x^{106}}{3!} + \cdots
$$

分析可知，当上式分母中 $x$ 的指数小于 $200$ 时，求导 $200$ 次会导致结果等于零，同时，当上式分母中 $x$ 的指数大于 $200$ 时，求导 $200$ 次还没有求出常数，代入 $x = 0$ 仍然得零——

只有当上市分母中 $x$ 的指数等于 $200$ 时，求导 $200$ 次才刚好可以求出来一个常数，此时，有：

$$
2n + 100 = 200 \Rightarrow n = 50.
$$

而这个常数就是：

$$
200! \times \frac{1}{50!}.
$$

因此：

$$
f^{(200)}(0) = \frac{200!}{50!}
$$

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