你知道怎么使用泰勒公式求解高阶导数吗

一、题目

已知 $f(x)=x^{100}{\mathrm{e}}^{x^2}$, 则 $f^{(200)}(0)=?$

难度评级：

二、解析

首先，根据泰勒公式可知：

$e^x$ 在点 $x=0$ 处可以展开为：

$$e^x=\sum _0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$

于是：

$$e^{x^2}=\sum _0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{n!}+o(x^{2n})$$

进而：

$$f(x)=x^{100}[\sum _0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{n!}+o(x^{2n})]\Rightarrow$$

$$f(x)=\sum _0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+100}}{n!}+o(x^{2n+100})$$

即：

$$f(x)=\frac{x^0}{0!}+\frac{x^{102}}{2!}+\frac{x^{106}}{3!}+\cdots$$

分析可知，当上式分母中 $x$ 的指数小于 $200$ 时，求导 $200$ 次会导致结果等于零，同时，当上式分母中 $x$ 的指数大于 $200$ 时，求导 $200$ 次还没有求出常数，代入 $x=0$ 仍然得零——

只有当上市分母中 $x$ 的指数等于 $200$ 时，求导 $200$ 次才刚好可以求出来一个常数，此时，有：

$$2n+100=200\Rightarrow n=50.$$

而这个常数就是：

$$200!\times \frac{1}{50!}.$$

因此：

$$f^{(200)}(0)=\frac{200!}{50!}$$

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