你知道怎么使用泰勒公式求解高阶导数吗

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 f(x)=x100ex2, 则 f(200)(0)=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,根据泰勒公式可知:

ex 在点 x=0 处可以展开为:

ex=0xnn!+o(xn)

于是:

ex2=0x2nn!+o(x2n)

进而:

f(x)=x100[0x2nn!+o(x2n)]

f(x)=0x2n+100n!+o(x2n+100)

即:

f(x)=x00!+x1022!+x1063!+

分析可知,当上式分母中 x 的指数小于 200 时,求导 200 次会导致结果等于零,同时,当上式分母中 x 的指数大于 200 时,求导 200 次还没有求出常数,代入 x=0 仍然得零——

只有当上市分母中 x 的指数等于 200 时,求导 200 次才刚好可以求出来一个常数,此时,有:

2n+100=200n=50.

而这个常数就是:

200!×150!.

因此:

f(200)(0)=200!50!


荒原之梦考研数学思维导图
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