正惯性指数就是二次型对应的矩阵 A 的正特征值的个数

一、题目

二次型 $2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-2x_2{x}_3$ 的正惯性指数 $p=?$

难度评级：

二、解析

该二次型对应的矩阵为：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& -1\\ 1& -1& 2\end{array}\right]$$

则：

$$\lambda E-A=$$

$$\left[\begin{array}{ccc}\lambda -2& -1& -1\\ -1& \lambda -2& 1\\ -1& 1& \lambda -2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}\lambda -3& \lambda -3& 0\\ -1& \lambda -2& 1\\ -1& 1& \lambda -2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}\lambda -3& \lambda -3& 0\\ 0& \lambda -3& 3-\lambda \\ -1& 1& \lambda -2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}\lambda -3& 0& 0\\ 0& \lambda -3& 3-\lambda \\ -1& 2& \lambda -2\end{array}\right].$$

于是：

$$|\lambda E-A|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -3)\left|\begin{array}{cc}\lambda -3& 3-\lambda \\ 2& \lambda -2\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -3)[(\lambda -3)-(\lambda -2)-2(3-\lambda )=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -3)[(\lambda -3)(\lambda -2)+2(\lambda -3)]=0\Rightarrow$$

$$(\lambda –3{)}^2(\lambda )=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=3,{\lambda }_2=3,{\lambda }_3=0$$

于是：

$$p=2$$

Tips:

$0$ 非负非正，不算正数。

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