一、题目
二次型 $2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 的正惯性指数 $p=?$
难度评级：
二、解析 
该二次型对应的矩阵为：
$$
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]
$$
则：
$$
\lambda E-A=
$$
$$
\left[\begin{array}{ccc}\lambda-2 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-2 & 1 \\ -1 & 1 & \lambda-2\end{array}\right] \Rightarrow
$$
$$
\left[\begin{array}{ccc}\lambda-3 & \lambda-3 & 0 \\ -1 & \lambda-2 & 1 \\ -1 & 1 & \lambda-2\end{array}\right] \Rightarrow
$$
$$
\left[\begin{array}{ccc}\lambda-3 & \lambda-3 & 0 \\ 0 & \lambda-3 & 3-\lambda \\ -1 & 1 & \lambda-2\end{array}\right] \Rightarrow
$$
$$
\left[\begin{array}{ccc}\lambda-3 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-3 & 3-\lambda \\ -1 & 2 & \lambda-2\end{array}\right].
$$
于是：
$$
|\lambda E-A|=0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda-3)\left|\begin{array}{cc}\lambda-3 & 3-\lambda \\ 2 & \lambda-2\end{array}\right| = 0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda-3)[(\lambda-3)-(\lambda-2)-2(3-\lambda) = 0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda-3)[(\lambda-3)(\lambda-2)+2(\lambda-3)]=0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda – 3)^{2}(\lambda)=0 \Rightarrow
$$
$$
\lambda_{1}=3, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=0
$$
于是：
$$
p = 2
$$
Tips:
$0$ 非负非正，不算正数。
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