你知道怎么由二次型式子写出对应的矩阵 A 吗

一、题目

已知二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ $=$ $a x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 , 则 $a=?$

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二、解析

首先，由二次型我们可以写出对应的矩阵 $A$:

$$
A = \begin{bmatrix}
a & 3 & 0 \\
3 & 2 & 1 \\
0 & 1 & a
\end{bmatrix}
$$

由于，$r(A) = 2 < 3$, 因此：

$$
|A| = 2a^{2} – 9a – a = 2a^{2} – 10a \Rightarrow
$$

$$
|A| = a^{2} – 5a = a(a-5) = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& a = 0 \\
& a = 5
\end{cases}
$$

按照一般做法，我们此时需要将 $a = 0$ 和 $a = 5$ 代入到 $A$ 中，以确定 $A$ 的秩是否为 $2$, 而不是 $1$ 或者 $0$, 但是，由于在 $A$ 中我们可以找到如下与 $a$ 无关的子式：

$$
\begin{vmatrix}
3 & 0 \\
2 & 1
\end{vmatrix} = 3 \neq 0
$$

因此，$a = 0$ 和 $a = 5$ 一定可使 $A$ 的秩为 $2$.

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