使一个矩阵经相似对角化变成对角矩阵的矩阵 P 就是由该矩阵的特征向量组成的

一、题目

已知 ${\mathit{P}}^{-1}\mathit{A}\mathit{P}=\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & 1& \\ & & -1\end{array}\right],\mathit{P}=({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3)$ 可逆，则矩阵 $\mathit{A}$ 关于特征值 $\lambda =1$ 的特征向量是多少？

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二、解析

矩阵 $A$ 经相似对角化得到的对角矩阵主对角线上的值就是矩阵 $A$ 的特征值，因此：

$$\{\begin{array}{ll}& {\lambda }_1=1\\ & {\lambda }_2=1\\ & {\lambda }_3=-1\end{array}$$

又由于，$P^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }$, 因此，矩阵 $P$ 中的列向量就依次是 $A$ 的特征值对应的特征向量，即：

${\lambda }_1=1$ 对应的特征向量是 ${\alpha }_1$;

${\lambda }_2=1$ 对应的特征向量是 ${\alpha }_2$;

Tips:

${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 一定是线性无关的。

因此，特征值 $\lambda =1$（二重特征值）对应的特征向量就是 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$, 其中，$k_1$ 和 $k_2$ 不全为零。

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