关于可以相似对角化的矩阵没有计算思路怎么办？特征值特征向量先算一算

一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & a \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ 和对角矩阵相似，则 $a=?$

难度评级：

二、解析

首先计算 $A$ 的特征值：

$$
|\lambda E – A|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-3 & -1 & -2 \\ 0 & \lambda -2 & -a \\ 0 & 0 & \lambda-3\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-2)(\lambda-3)^{2}=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}=2, \quad \lambda_{2}=3, \quad \lambda_{3}=3.
$$

Tips:

事实上，由于 $A$ 是一个上三角矩阵，因此，$A$ 主对角线上的元素就是其特征值。

接着，计算二重特征值对应的特征向量（这些特征向量一定是线性无关的）：

$$
(\lambda E-A) x=0 \Rightarrow
$$

$$
(3 E-A) x=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -a \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right|=0.
$$

由于 $A$ 有一个二重特征值，因此，$A$ 一定可以消出来两个全为零的行：

$$
\left|\begin{array}{ccc}0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -a-2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
-a-2 \Rightarrow a=-2.
$$

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