不能表示所有向量的向量组一定线性相关

一、题目

已知 $\mathit{A}=[{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3]$ 是三阶矩阵，${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_4$ 是三维列向量, 其中 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2$ 坐标不成比例, ${\mathit{\alpha }}_4$ 不能由 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 线性表出, 则 $r(\mathit{A})=?$

难度评级：

二、解析

由于 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 不成比例，因此：

$$r(A)⩾2$$

又由 ${\alpha }_4$ 不能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表出可知，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 一定线性相关，于是：

$$r(A)⩽2$$

综上可知：

$$r(A)=2$$

---