伴随矩阵与“左行右列”规则结合的一道题目

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶矩阵, 且 $|\mathit{A}|=3$, 将 $\mathit{A}$ 第二列的 $-5$ 倍加到第一列得到矩阵 $\mathit{B}$, 则 $|A^{\ast }B|=?$

难度评级：

二、解析

已知：

$$\left|A^{\ast }B\right|=||A|\cdot A^{-1}B|=|A|\frac{1}{|A|}\cdot |B|=|A{|}^2|B|=9|B|$$

又：

$$B=A\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -5& 0& 1\end{array}\right]$$

于是：

$$\begin{gathered} |B|=|A|\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -5& 0& 1\end{array}\right|\Rightarrow \\ |B|=3\times 1=3 \end{gathered}$$

综上可知：

$$\left|A^{\ast }B\right|=9\times 3=27.$$

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