函数在其定义域端点处有界或无界其实就是在该点处有极限或者没极限的问题

一、题目

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{\ln (x-1)}{(x-1)(x-2)},x\in (1,2)\cup (2,+\mathrm{\infty })\\ 0,\end{array}$, 则 $f(x)$ 在其定义域的哪一部分是有界的？

难度评级：

二、解析

1

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{\ln (0^{+})}{-0^{+}}=\frac{-\mathrm{\infty }}{-0}=+\mathrm{\infty }.$$

2

$$\underset{x\to 2}{lim}\frac{\ln (x-1)}{x-2}\Rightarrow \frac{0}{0}\Rightarrow$$

洛必达运算：

$$\underset{x\to 2}{lim}\frac{\frac{1}{x-1}}{1}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{1}{x-1}=\frac{1}{2-1}=1$$

3

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (x-1)}{(x-1)(x-2)}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}=\frac{\ln (x-1)}{x^2–3x+3}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}=\frac{\ln (x-1)}{x^2}.$$

根据《常用的无穷大量的比较公式》这篇文章可知，当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时，$\ln x$ 的增长速度远小于 $x^2$ 的增长速度，因此：

$$\ln (x–1)\ll x^2$$

即：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}=\frac{\ln (x-1)}{x^2}=\frac{0}{\mathrm{\infty }}=0$$

综上可知，函数 $f(x)$ 只在区间 $(2,+\mathrm{\infty })$ 上是有界的。

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