这个二元函数一点处的导数你会求解吗？

一、题目

已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则：

$$
f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)=?
$$

$$
f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)=?
$$

难度评级：

二、解析

本题要求解的是函数在 $(0,0)$ 点处的导数，但是，$x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ 并不是定义在 $(0,0)$ 点处的函数式，因此，我们需要借助一点处导数的定义完成本题的求解——

关于二元函数一点处导数的定义，我们可以参考《一元函数一点处导数的定义》进行。

由题可知：

$$
f_{x}^{\prime}(0, y)=\frac{f(x, y)-f(0, y)}{x-0}=
$$

$$
\frac{x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-0}{x}=y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow x = 0 \Rightarrow
$$

$$
y \cdot \frac{-y^{2}}{y^{2}}=-y.
$$

于是：

$$
f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} f_{x}^{\prime}(0, y)\right|_{y=0} \Rightarrow
$$

$$
f_{x y(0,0)}^{\prime \prime}=-1
$$

接着：

$$
f^{\prime}_{y} (x, 0) = \frac{f(x, y)-f(x, 0)}{y-0}=
$$

$$
x \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow y = 0 \Rightarrow x \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}=x \Rightarrow
$$

$$
f_{y x}^{\prime \prime}(x, 0) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f_{y}^{\prime}(0,0)=1.
$$

当然，在已知 $f_{x y}^{\prime \prime}(0,0) = -1$, 求解 $f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)$ 的值时，我们也可以通过如下步骤直接得出：

由于对调 $x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ 会得到：

$$
y x \frac{y^{2}-x^{2}}{y^{2}+x^{2}} = – x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
$$

因此，由 $f_{x y}^{\prime \prime}(0,0) = -1$ 可知：

$$
f_{y x}^{\prime \prime}(0,0) = -(-1) = 1.
$$

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