关于数列极限比值的那些事 一、前言 你知道对于数列 xn 而言，limx→∞xn+1xn 蕴含着多少知识吗？ 继续往下看，会让你对数列极限的理解更上一层楼。 二、正文 01 若 limx→∞xn=a 且 a≠0, 则： limx→∞xn+1xn=1 更进一步，我们还能得到： limx→∞xn+lxn=1 其中，l 为某个确定的正整数。 02 不过，若已知 limx→∞xn+1xn=1 是推不出 limx→∞xn 极限存在这个结论的，因为 00 未定式和 ∞∞ 未定式都可能存在极限值。 例如，当 xn=n 时，limx→∞xn+1xn = limx→∞n+1n=nn=1. 与此同时，limx→∞xn=∞ 并不存在极限值。 03 此外，当数列极限值 a=0 时，limx→∞xn+1xn 就成了 00 未定式，因此，limx→∞xn+1xn 这个式子的极限值到底存不存在就不确定了。 04 另外，若 limx→∞xn+1xn=A, 则必有 A∈[−1,1], 也就是 |A|⩽1, 因为，若 |A|>1, 数列 xn 就不收敛了，其值会不受约束的增大，最终导致 limx→∞xn=∞. 相关文章： 2010 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析（三种方法） 2009 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析 (两种解法) 2017年考研数二第18题解析：导数、函数极值、单调性 三种方法解一道数列极限题 2014年考研数二第15题解析：极限、等价无穷小、麦克劳林公式 计算极限 limn→∞ nn+1(n+1)n ⋅ sin1n 判断 y = x2+1x+1⋅e1x−1 的渐近线的条数和类型 计算微分方程 y′′ + 2my′ + n2y = 0 满足一定条件特解的无穷限反常积分 有理化的两种计算方式：保无穷大或者舍无穷小 计算极限 limx→∞ [ x2(x–a)(x+b) ]x 高数极限小技巧：limn→∞ 默认就是 limn→+∞ 指数函数的增长速度远大于幂函数——你会区分指数函数和幂函数吗？ 两种方法计算：limx→∞ ( sin2x + cos1x )x 什么时候该舍去较小的无穷大？以 limx→∞ sinπ4n2+n 为例 数列极限存在的充分必要条件（03-B001） 1998 年研究生入学考试数学二填空题第 1 题解析（三种方法） 一个很“全”的题目：limx→+∞ x(xx–1) 2016年考研数二第15题解析：无穷小、e 抬起、两个重要无穷小 常用的极限两原则：拆分之后的所有式子都要有极限且只能在乘除法之间使用等价无穷小替换 [高等数学]解析一道关于函数极限的概念考察题(001) 计算极限问题时“抓大头”要慎重！ 每日一题：计算 limx→+∞ (1+1x)x2ex 取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法 第三类无穷限的反常积分：∫−∞+∞ f(x) dx（B007） 2018年考研数二第09题解析
