一、前言 
你知道对于数列 $x_{n}$ 而言，$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ 蕴含着多少知识吗？
继续往下看，会让你对数列极限的理解更上一层楼。
二、正文 
01
若 $\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n} = a$ 且 $a \neq 0$, 则：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x_{n + 1}}{x_{n}} = 1
$$
更进一步，我们还能得到：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x_{n+l}}{x_{n}} = 1
$$
其中，$l$ 为某个确定的正整数。
02
不过，若已知 $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}} = 1$ 是推不出 $\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n}$ 极限存在这个结论的，因为 $\frac{0}{0}$ 未定式和 $\frac{\infty}{\infty}$ 未定式都可能存在极限值。
例如，当 $x_{n} = n$ 时，$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n} = \frac{n}{n} = 1$.
与此同时，$\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n} = \infty$ 并不存在极限值。
03
此外，当数列极限值 $a = 0$ 时，$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ 就成了 $\frac{0}{0}$ 未定式，因此，$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ 这个式子的极限值到底存不存在就不确定了。
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另外，若 $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}} = A$, 则必有 $A \in [-1, 1]$, 也就是 $|A| \leqslant 1$, 因为，若 $|A| > 1$, 数列 $x_{n}$ 就不收敛了，其值会不受约束的增大，最终导致 $\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n} = \infty$.