原函数和导数之间的那些性质都在这道题里了

一、题目

已知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的一个原函数, 则据此能得出 $f(x)+F(x)$ 在 $(a, b)$ 内的哪些性质？

难度评级：

二、解析

根据《如何判断一个函数是否存在原函数》这篇文章可知：

1. 由于 $F(x)$ 可导，因此，$F(x)$ 必连续，而连续函数一定存在原函数，同时，$f(x)$ 也存在原函数，综上可知，$f(x) + F(x)$ 一定存在原函数；
2. 虽然 $F(x)$ 连续，但是 $F(x)$ 的导数 $f(x)$ 不一定连续，例如，$F(x) = \begin{cases}
   & x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \ & 0, & x = 0
   \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处是连续的，但是，$F^{\prime} (x) = f(x) = \begin{cases}
   & 2x \sin \frac{1}{x} – \cos \frac{1}{x}, & x \neq 0, \ & 0, & x = 0
   \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处就不是连续的。同时，只要 $f(x)$ 不连续，即便 $F(x)$ 连续，也会导致 $f(x) + F(x)$ 不连续，此时，$f(x) + F(x)$ 也不可导；
3. 假如 $f(x) + F(x)$ 存在原函数，但是这个原函数也不一定是初等函数，例如，当 $f(x) = e^{x^{2}}$ 时，$F(x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t$, 则 $f(x) + F(x)$ $=$ $e^{x^{2}} + \int_{0}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t$ 并不是一个初等函数。

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