你会解这个“双层”的变限积分求导题吗

一、题目

已知函数 $F(x)$ $=$ ${\int }_0^x({\int }_0^{u^2}\ln (1+t^2)\mathrm{d}t)\mathrm{d}u$, 则曲线 $y=F(x)$ 在其定义域上的凹凸性如何？

难度评级：

二、解析

$$F(x)={\int }_0^x({\int }_0^{u^2}\ln (1+t^2)\mathrm{d}t)\mathrm{d}u\Rightarrow$$

Tips:

由 $\mathrm{d}u$ 可知，外层积分的积分变量是 $u$, 因此，对外层而言，在内层式子 ${\int }_0^{u^2}\ln (1+t^2)\mathrm{d}t$ 中，只有 $u$ 被可以被看作变量，而内层式子中的 $t$ 要看做常数处理。

$$F^{\prime }(x)={\int }_0^{x^2}\ln (1+t^2)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$F^{\prime \prime }(x)=2x\cdot \ln (1+x^4)\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& x<0\Rightarrow F^{\prime \prime }(x)<0;\\ & x>0\Rightarrow F^{\prime \prime }(x)>0;\\ & x=0\Rightarrow F^{\prime \prime }(x)=0\end{array}$$

综上可知，曲线 $y=F(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },0)$ 是凸的,在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 是凹的。

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