不是所有趋于零的极限都可以随便用等价无穷小

一、题目

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}}\left[\int_{2 x-1}^{2 x+1} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t-\int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right]=?
$$

难度评级：

二、解析

错误的解法：用等价无穷小之前一定要看看是不是无穷小

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}}\left[\int_{2 x-1}^{2 x+1} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t-\int_{-1}^{1} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t\right]=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{2 x-1}^{2 x+1} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t-\int_{-1}^{1} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t}{x^{2}}=
$$

洛必达运算：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2 e^{(2 x+1)^{2}}-2 e^{(2 x-1)^{2}}}{2 x}=
$$

狗仔等价无穷小：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2\left[\left(e^{(2 x+1)^{2}}-1\right)-\left(e^{(2 x-1)^{2}}-1\right)\right]}{2 x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2\left[(2 x+1)^{2}-(2 x-1)^{2}\right]}{2 x}=
$$

Tips：

上面的计算步骤是错的，错误的原因是：当 $x \rightarrow 0$ 时，$2x + 1$ 和 $2x – 1$ 都不趋于零，不能使用等价无穷小公式。

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2\left[4 x^{2}+1+4 x-\left(4 x^{2}+1-4 x\right)\right]}{2 x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{4 x+4 x}{x}=8.
$$

正确的解法

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}}\left[\int_{2 x-1}^{2 x+1} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t-\int_{-1}^{1} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t\right]=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{2 x-1}^{2 x+1} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t-\int_{-1}^{1} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t}{x^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2 e^{(2 x+1)^{2}}-2 e^{(2 x-1)^{2}}}{2 x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{(2 x+1)^{2}}-e^{(2 x-1)^{2}}}{-x}=
$$

构造等价无穷小：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{(2 x-1)^{2}}\left[e^{(2 x+1)^{2}-(2 x-1)^{2}}-1\right]}{2 x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e\left[(2 x+1)^{2}-(2 x-1)^{2}\right]}{x}=
$$

将平方式展开：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e \cdot 8x}{x}= 8e.
$$

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