不是所有趋于零的极限都可以随便用等价无穷小

一、题目

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} [\int_{2 x - 1}^{2 x + 1} e^{t^{2}} d t - \int_{- 1}^{1} e^{t^{2}} d t] = ?$

难度评级：

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} [\int_{2 x - 1}^{2 x + 1} e^{t^{2}} d t - \int_{- 1}^{1} e^{t^{2}} d t] =$

$lim_{x \to 0} \frac{\int_{2 x - 1}^{2 x + 1} e^{t^{2}} d t - \int_{- 1}^{1} e^{t^{2}} d t}{x^{2}} =$

洛必达运算：

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{(2 x + 1)^{2}} - 2 e^{(2 x - 1)^{2}}}{2 x} =$

狗仔等价无穷小：

$lim_{x \to 0} \frac{2 [(e^{(2 x + 1)^{2}} - 1) - (e^{(2 x - 1)^{2}} - 1)]}{2 x} =$

$lim_{x \to 0} \frac{2 [(2 x + 1)^{2} - (2 x - 1)^{2}]}{2 x} =$

Tips：

上面的计算步骤是错的，错误的原因是：当 $x \to 0$ 时， $2 x + 1$ 和 $2 x - 1$ 都不趋于零，不能使用等价无穷小公式。

$lim_{x \to 0} \frac{2 [4 x^{2} + 1 + 4 x - (4 x^{2} + 1 - 4 x)]}{2 x} =$

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 4 x}{x} = 8.$

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} [\int_{2 x - 1}^{2 x + 1} e^{t^{2}} d t - \int_{- 1}^{1} e^{t^{2}} d t] =$

$lim_{x \to 0} \frac{\int_{2 x - 1}^{2 x + 1} e^{t^{2}} d t - \int_{- 1}^{1} e^{t^{2}} d t}{x^{2}} =$

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{(2 x + 1)^{2}} - 2 e^{(2 x - 1)^{2}}}{2 x} =$

$lim_{x \to 0} \frac{e^{(2 x + 1)^{2}} - e^{(2 x - 1)^{2}}}{- x} =$

构造等价无穷小：

$lim_{x \to 0} \frac{e^{(2 x - 1)^{2}} [e^{(2 x + 1)^{2} - (2 x - 1)^{2}} - 1]}{2 x} =$

$lim_{x \to 0} \frac{e [(2 x + 1)^{2} - (2 x - 1)^{2}]}{x} =$

将平方式展开：

$lim_{x \to 0} \frac{e \cdot 8 x}{x} = 8 e .$