“无穷”的“心思”不能靠“有穷”来猜

一、题目

$\int_{-\infty}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x$ 的敛散性如何？

难度评级：

二、解析

首先，在积分上下限都是确定的数字 $a$ 和 $b$ 的时候，如果被积函数 $f(x)$ 是一个奇函数，那么，我们可以根据定积分的性质得出如下结论：

$$
\int_{a}^{b} f(x) = 0
$$

但是，虽然本题中的被积函数 $\sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|}$ 是一个奇函数，但由于其积分上下限都是无穷大，此时，“有穷”时候的性质在“无穷”的场景下就失效了。

也就是说，对于 $\int_{-\infty}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x$ 是否等于零（如果等于零或者一个常数，那就是收敛），我们就不能通过积分上下限的对称性和被积函数的奇偶性进行判断了。

事实上，如果 $\int_{-\infty}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x$ 收敛，那么就意味着 $\int_{0}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x$ 和 $\int_{-\infty}^{0} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x$ 都是收敛的。

反之，如果 $\int_{-\infty}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x$ 不收敛，那么也就意味，只要 $\int_{0}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x$ 或者 $\int_{-\infty}^{0} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x$ 有一个被确定不收敛即可判断出对应结论。

于是，我们只需要判断如下式子的敛散性：

$$
\int_{0}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x =
$$

$$
\int_{0}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{x} \mathrm{~ d} x.
$$

分析可知，由于：

$$
(e^{x})^{\prime} = e^{x}
$$

因此，被积函式 $\sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{x}$ 的原式中一定含有 $e^{x}$, 于是，我们不妨令 $\sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{x}$ 的原式为：

$$
e^{x} \cdot A(x)
$$

即：

$$
[e^{x} \cdot A(x)]^{\prime} = \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{x} \Rightarrow
$$

$$
e^{x} A(x) + e^{x} A^{\prime}(x) = \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{x} \Rightarrow
$$

$$
e^{x} [A(x) + A^{\prime}(x)] = \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{x} \Rightarrow
$$

$$
A(x) + A^{\prime}(x) = \sin 2 x. \tag{1}
$$

继续分析可知，由于 $\sin$ 与 $\cos$ 可以通过求导相互转换，因此，在 $(1)$ 式中，$A(x)$ 和 $A^{\prime}(x)$ 一定都是由 $\sin$ 与 $\cos$ 组成的，于是，我们不妨令：

$$
A(x) = a \sin 2x + b \cos 2x
$$

于是：

$$
A(x) + A^{\prime}(x) = \sin 2 x \Rightarrow
$$

$$
a \sin 2x + b \cos 2x + 2a \cos 2x – 2b \sin 2x = \sin 2x \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& a – 2b = 1; \\
& b + 2a = 0
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
a + 4a = 1 \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& a = \frac{1}{5}; \\
& b = -\frac{2}{5}.
\end{cases}
$$

于是：

$$
A(x) = a \sin 2x + b \cos 2x \Rightarrow
$$

$$
A(x) = \frac{1}{5}( \sin 2x – 2 \cos 2x)
$$

进而可得：

$$
\int_{0}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{x} \mathrm{~ d} x =
$$

$$
\frac{e^{x}}{5}( \sin 2x – 2 \cos 2x) \Big|_{0}^{+ \infty}.
$$

但是，$\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\frac{e^{x}}{5}( \sin 2x – 2 \cos 2x)$ 属于震荡无极限，因此，$\int_{0}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{x} \mathrm{~ d} x$ 发散，根据前面的分析，可知下面的式子也是发散的：

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x
$$

Tips:
关于震荡无极限的解析，可以查看荒原之梦网《有界震荡无极限与无界震荡无极限》这篇文章。

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