一个不能用洛必达运算也不能用泰勒公式的无穷小题目

一、题目

已知 $f(x)=1-\cos x$, 则：

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})(1-\sqrt[4]{\cos x})(1-\sqrt[5]{\cos x})}{f\{ f[f(x)] \}}=?
$$

难度评级：

二、正文

对本题中的式子使用洛必达运算和泰勒公式替换都相当复杂——由于该式子属于 $\frac{0}{0}$ 型极限，那么，根据《解决 0/0 型极限的三种方法》这篇文章，我们可以尝试使用等价无穷小代换求解本题。

注意：为了书面表达的简洁，下面的计算过程默认都是在 $x \rightarrow 0$ 的前提下进行的。

于是（参考）：

$$
1-\cos ^{\alpha} x \sim \frac{\alpha}{2} x^{2} \Rightarrow
$$

$$
(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})(1-\sqrt[4]{\cos x})(1-\sqrt[5]{\cos x})=
$$

$$
\left(1-\cos ^{\frac{1}{2}} x\right)\left(1-\cos ^{\frac{1}{3}} x\right)\left(1-\cos ^{\frac{1}{4}} x\right)\left(1-\cos ^{\frac{1}{5}} x\right) \sim
$$

$$
\frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{\frac{1}{3}}{2} x^{2} \cdot \frac{\frac{1}{4}}{2} x^{2} \cdot \frac{\frac{1}{5}}{2} x^{2}=
$$

$$
\textcolor{red}{\left(\frac{1}{2}\right)^{4} } \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} \cdot \textcolor{red}{\left(x^{2}\right)^{4} }=
$$

注意：由于都是乘法运算，因此：$\frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{\frac{1}{3}}{2} x^{2} \cdot \frac{\frac{1}{4}}{2} x^{2} \cdot \frac{\frac{1}{5}}{2} x^{2}$ $\neq$ $\textcolor{orange}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} \cdot \textcolor{orange}{x^{2} }$.

$$
\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{120} x^{8}.
$$

又：

$$
f(x)=1-\cos x \Rightarrow f(x) \sim \frac{1}{2} x^{2} \Rightarrow
$$

$$
f[f(x)] \sim \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} x^{2}\right)^{2}=\frac{1}{8} x^{4}
$$

$$
f \{ f[f(x)] \} \sim \frac{1}{2}\left(\frac{1}{8} x^{4}\right)^{2}=\frac{1}{2 \times 64} x^{8}.
$$

综上可得：

$$
I=\frac{x^{8}}{16 \times 120} \cdot \frac{2 \times 64}{x^{8}}=\frac{2 \times 64}{16 \times 120}=\frac{1}{15}.
$$

注意：像上面的这个式子一样，如果之后可以通过分式进行消去化简，就没必要在前面的计算步骤中，把所有项都用乘法计算出最终结果。

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