一个不能用洛必达运算也不能用泰勒公式的无穷小题目

一、题目

已知 $f(x)=1-\cos x$, 则：

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})(1-\sqrt[4]{\cos x})(1-\sqrt[5]{\cos x})}{f\{f[f(x)]\}}=?$$

难度评级：

二、正文

对本题中的式子使用洛必达运算和泰勒公式替换都相当复杂——由于该式子属于 $\frac{0}{0}$ 型极限，那么，根据《解决 0/0 型极限的三种方法》这篇文章，我们可以尝试使用等价无穷小代换求解本题。

注意：为了书面表达的简洁，下面的计算过程默认都是在 $x\to 0$ 的前提下进行的。

于是（参考）：

$$1-{\cos }^{\alpha }x\sim \frac{\alpha }{2}{x}^2\Rightarrow$$

$$(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})(1-\sqrt[4]{\cos x})(1-\sqrt[5]{\cos x})=$$

$$(1-{\cos }^{\frac{1}{2}}x)(1-{\cos }^{\frac{1}{3}}x)(1-{\cos }^{\frac{1}{4}}x)(1-{\cos }^{\frac{1}{5}}x)\sim$$

$$\frac{1}{2}{x}^2\cdot \frac{\frac{1}{3}}{2}{x}^2\cdot \frac{\frac{1}{4}}{2}{x}^2\cdot \frac{\frac{1}{5}}{2}{x}^2=$$

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{5}\cdot {\left(x^2\right)}^4=$$

注意：由于都是乘法运算，因此：$\frac{1}{2}{x}^2\cdot \frac{\frac{1}{3}}{2}{x}^2\cdot \frac{\frac{1}{4}}{2}{x}^2\cdot \frac{\frac{1}{5}}{2}{x}^2$ $\ne$ $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{5}\cdot x^2$.

$$\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{120}{x}^8.$$

又：

$$f(x)=1-\cos x\Rightarrow f(x)\sim \frac{1}{2}{x}^2\Rightarrow$$

$$f[f(x)]\sim \frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^2=\frac{1}{8}{x}^4$$

$$f\{f[f(x)]\}\sim \frac{1}{2}{\left(\frac{1}{8}{x}^4\right)}^2=\frac{1}{2\times 64}{x}^8.$$

综上可得：

$$I=\frac{x^8}{16\times 120}\cdot \frac{2\times 64}{x^8}=\frac{2\times 64}{16\times 120}=\frac{1}{15}.$$

注意：像上面的这个式子一样，如果之后可以通过分式进行消去化简，就没必要在前面的计算步骤中，把所有项都用乘法计算出最终结果。

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