变限积分被积函数中包含的变量不好处理？先整体代换试试！

一、题目

已知 $f(x)$ 可导, $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=2$, $F(x)$ $=$ ${\int }_0^x{t}^{2}f(x^3-t^3)\mathrm{d}t$, $g(x)=\frac{x^7}{5}$ $+$ $\frac{x^6}{6}$, 则 当 $x\to 0$ 时, $F(x)$ 是 $g(x)$ 的等价无穷小吗？

难度评级：

二、解析

首先，当式子中出现两个相差为 $1$ 的次幂时，就可以考虑通过求导进行相互的转化。例如，在 $F(x)$ $=$ ${\int }_0^x{t}^{2}f(x^3-t^3)\mathrm{d}t$ 中，$t^2$ 中的 $2$ 次幂和 $x^3-t^3$ 中的 $3$ 次幂就可以通过求导转化。

于是，将 $x$ 视作常数，令：

$$k=x^3-t^3$$

则：

$$\mathrm{d}k=-3t^2$$

且：

$$t\in (0,x)\Rightarrow t^3\in (0,x^3)\Rightarrow$$

$$x^3-t^3\in (x^3,0)\Rightarrow k\in (x^3,0).$$

于是：

$$F(x)={\int }_0^x{t}^{2}f(x^3-t^3)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$F(x)=\frac{-1}{3}{\int }_{x^3}^{0}f(k)\mathrm{d}k=\frac{1}{3}{\int }_0^{x^3}f(k)\mathrm{d}k$$

又：

$$\underset{x\to 0}{lim}g(x)=\frac{x^7}{5}+\frac{x^6}{6}\sim \underset{x\to 0}{lim}g(x)=\frac{1}{6}{x}^6$$

因此，当 $x\to 0$ 时，有：

$$\frac{F(x)}{g(x)}=$$

$$\frac{\frac{1}{3}{\int }_0^{x^3}f(k)\mathrm{d}k}{\frac{1}{6}{x}^6}=\frac{2{\int }_0^{x^3}f(k)\mathrm{d}k}{x^6}=$$

洛必达运算：

$$\frac{2\cdot 3x^{2}f\left(x^3\right)}{6x^5}=\frac{x^{2}f\left(x^3\right)}{x^5}=\frac{f\left(x^3\right)}{x^3}\Rightarrow$$

$$\frac{f\left(x^3\right)-f(0)}{x^3-0}=f^{\prime }(0)=2$$

于是可知，当 $x\to 0$ 时, $F(x)$ 是 $g(x)$ 的同阶无穷小，非等价无穷小。

---