变限积分被积函数中包含的变量不好处理？先整体代换试试！

一、题目

已知 $f(x)$ 可导, $f(0)=0$, $f^{\prime}(0)=2$, $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} t^{2} f\left(x^{3}-t^{3}\right) \mathrm{d} t$, $g(x)=\frac{x^{7}}{5}$ $+$ $\frac{x^{6}}{6}$, 则 当 $x \rightarrow 0$ 时, $F(x)$ 是 $g(x)$ 的等价无穷小吗？

难度评级：

二、解析

首先，当式子中出现两个相差为 $1$ 的次幂时，就可以考虑通过求导进行相互的转化。例如，在 $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} t^{2} f\left(x^{3}-t^{3}\right) \mathrm{d} t$ 中，$t^{2}$ 中的 $2$ 次幂和 $x^{3}-t^{3}$ 中的 $3$ 次幂就可以通过求导转化。

于是，将 $x$ 视作常数，令：

$$
k=x^{3}-t^{3}
$$

则：

$$
\mathrm{~ d} k=-3 t^{2}
$$

且：

$$
t \in(0, x) \Rightarrow t^{3} \in\left(0, x^{3}\right) \Rightarrow
$$

$$
x^{3}-t^{3} \in\left(x^{3}, 0\right) \Rightarrow k \in\left(x^{3}, 0\right).
$$

于是：

$$
F(x)=\int_{0}^{x} t^{2} f\left(x^{3}-t^{3}\right) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
F(x)=\frac{-1}{3} \int_{x^{3}}^{0} f(k) \mathrm{~ d} k=\frac{1}{3} \int_{0}^{x^{3}} f(k) \mathrm{~ d} k
$$

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x)=\frac{x^{7}}{5}+\frac{x^{6}}{6} \sim \lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x)=\frac{1}{6} x^{6}
$$

因此，当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$$
\frac{F(x)}{g(x)} =
$$

$$
\frac{\frac{1}{3} \int_{0}^{x^{3}} f(k) \mathrm{~ d} k}{\frac{1}{6} x^{6}}=\frac{2 \int_{0}^{x^{3}} f(k) \mathrm{~ d} k}{x^{6}}=
$$

洛必达运算：

$$
\frac{2 \cdot 3 x^{2} f\left(x^{3}\right)}{6 x^{5}} = \frac{x^{2} f\left(x^{3}\right)}{x^{5}} = \frac{f\left(x^{3}\right)}{x^{3}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{f\left(x^{3}\right)-f(0)}{x^{3}-0}=f^{\prime}(0)=2
$$

于是可知，当 $x \rightarrow 0$ 时, $F(x)$ 是 $g(x)$ 的同阶无穷小，非等价无穷小。

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