变限积分被积函数中包含的变量不好处理?先整体代换试试!

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 f(x) 可导, f(0)=0, f(0)=2, F(x) = 0xt2f(x3t3)dt, g(x)=x75 + x66, 则 当 x0 时, F(x)g(x) 的等价无穷小吗?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,当式子中出现两个相差为 1 的次幂时,就可以考虑通过求导进行相互的转化。例如,在 F(x) = 0xt2f(x3t3)dt 中,t2 中的 2 次幂和 x3t3 中的 3 次幂就可以通过求导转化。

于是,将 x 视作常数,令:

k=x3t3

则:

 dk=3t2

且:

t(0,x)t3(0,x3)

x3t3(x3,0)k(x3,0).

于是:

F(x)=0xt2f(x3t3) dt

F(x)=13x30f(k) dk=130x3f(k) dk

又:

limx0g(x)=x75+x66limx0g(x)=16x6

因此,当 x0 时,有:

F(x)g(x)=

130x3f(k) dk16x6=20x3f(k) dkx6=

洛必达运算:

23x2f(x3)6x5=x2f(x3)x5=f(x3)x3

f(x3)f(0)x30=f(0)=2

于是可知,当 x0 时, F(x)g(x) 的同阶无穷小,非等价无穷小。


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