一般规律：大于 1 时越乘越大，小于 1 时越乘越小

一、题目

已知正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{a_{n}} x^{n} \mathrm{~d} x$ $=$ $2$, 则 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

解法 1：思想分析法

由于 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{a_{n}} x^{n} \mathrm{~d} x$ 等于一个常数，因此，$x^{n}$ 在区间 $(0, a_{n})$ 上是收敛的。

但是，当 $x > 1$ 且 $n \rightarrow \infty$ 时，$x^{n}$ 会变得非常大，因此，$a_{n}$ 最大等于 $1$.

又，当 $a_{n} = 0$ 时，$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{a_{n}} x^{n} \mathrm{~d} x = 0$, 于是，我们可以基本判断出：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 1.
$$

解法 2：先积分后求极限

由题知：

$$
\int_{0}^{a_{n}} x^{n} d x=2 \Rightarrow
$$

$$
\left.\frac{1}{n+1} x^{n+1}\right|_{0} ^{a_{n}}=\frac{\left(a_{n}\right)^{n+1}}{n+1}-\frac{(0)^{n+1}}{n+1}=
$$

$$
\frac{a_{n}^{n+1}}{n+1} = 2
$$

于是：

$$
a_{n}^{n+1}=(n+1) 2 \Rightarrow
$$

$$
a_{n}=\left[(n+1) 2\right]^{\frac{1}{n+1}} \Rightarrow
$$

$$
a_{n}=(n+1)^{\frac{1}{n+1}} \cdot 2^{\frac{1}{n+1}}.
$$

又：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}(n+1)^{\frac{1}{n+1}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{n+1} \ln (n+1)}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{\ln (n+1)}{n+1}} \Rightarrow
$$

对指数进行洛必达运算：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{n+1}}=e^{0}=1.
$$

且：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 2^{\frac{1}{n+1}}=2^{0}=1.
$$

综上可知：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=1 \cdot 1=1.
$$

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