一般规律:大于 1 时越乘越大,小于 1 时越乘越小

一、题目题目 - 荒原之梦

已知正数列 {an} 满足 limn0anxn dx = 2, 则 limnan = ?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

解法 1:思想分析法

由于 limn0anxn dx 等于一个常数,因此,xn 在区间 (0,an) 上是收敛的。

但是,当 x>1n 时,xn 会变得非常大,因此,an 最大等于 1.

又,当 an=0 时,limn0anxn dx=0, 于是,我们可以基本判断出:

limnan=1.

解法 2:先积分后求极限

由题知:

0anxndx=2

1n+1xn+1|0an=(an)n+1n+1(0)n+1n+1=

ann+1n+1=2

于是:

ann+1=(n+1)2

an=[(n+1)2]1n+1

an=(n+1)1n+121n+1.

又:

limn(n+1)1n+1=limne1n+1ln(n+1)=

limneln(n+1)n+1

对指数进行洛必达运算:

limne1n+1=e0=1.

且:

limn21n+1=20=1.

综上可知:

limnan=11=1.


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