一般规律:大于 1 时越乘越大,小于 1 时越乘越小 一、题目 已知正数列 {an} 满足 limn→∞∫0anxn dx = 2, 则 limn→∞an = ? 难度评级: 二、解析 解法 1:思想分析法 由于 limn→∞∫0anxn dx 等于一个常数,因此,xn 在区间 (0,an) 上是收敛的。 但是,当 x>1 且 n→∞ 时,xn 会变得非常大,因此,an 最大等于 1. 又,当 an=0 时,limn→∞∫0anxn dx=0, 于是,我们可以基本判断出: limn→∞an=1. 解法 2:先积分后求极限 由题知: ∫0anxndx=2⇒ 1n+1xn+1|0an=(an)n+1n+1−(0)n+1n+1= ann+1n+1=2 于是: ann+1=(n+1)2⇒ an=[(n+1)2]1n+1⇒ an=(n+1)1n+1⋅21n+1. 又: limn→∞(n+1)1n+1=limn→∞e1n+1ln(n+1)= limn→∞eln(n+1)n+1⇒ 对指数进行洛必达运算: limn→∞e1n+1=e0=1. 且: limn→∞21n+1=20=1. 综上可知: limn→∞an=1⋅1=1. 考研数学思维导图 高等数学 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数 以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题 通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 计算极限问题时“抓大头”要慎重! 当定积分遇上无穷大:先积分再计算无穷大 求解一点处的导数时,不一定要用定义法 取极限“抓大头”、“抓小头”的适用范围:一般只适用于分式的分子和分母中都存在变量且抓大头之后式子整体的极限存在 带绝对值的式子一定要考虑清楚正负 用偏微分的定义计算全微分的特值问题(一) 分子或分母中有极限和数字的加减法时不能直接把极限值代入式子中参与运算——但只有极限没有数字的时候可以代入极限值参与运算 用偏微分的定义计算全微分的特值问题(二) 当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花? 用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目 应用洛必达法则的三点注意事项 做了这道题你会对全微分有更深入的理解 常用的极限两原则:拆分之后的所有式子都要有极限且只能在乘除法之间使用等价无穷小替换 2017年考研数二第18题解析:导数、函数极值、单调性 通过嵌套变限积分判断式子整体的奇偶性 极限的加法运算法则(B001) 极限的减法运算法则(B001) 极限的乘法运算法则(B001) 计算微分方程 y′′ + 2my′ + n2y = 0 满足一定条件特解的无穷限反常积分 判断二元函数的极值 用三角代换、几何意义和区间再现三种方法解一道定积分题目 2018年考研数二第17题解析:摆线、二重积分转二次积分、三角函数 当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时,也可以尝试使用极坐标系求解 2009 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析 (两种解法) 对于周期函数而言,再细微的差别也不能忽略:无穷小是很小,但不是不存在