一个看上去很难的积分题：某些隐函数其实是“假”的

一、题目

曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ $=$ $\sqrt{2}$ 与坐标轴所围成图形的面积是多少？

难度评级：

二、解析

注意：曲线与坐标轴所围成的面积不一定就等于对应区间上积分的值，但在本题中，由于一定存在 $x\ge 0$ 和 $y\ge 0$, 所以曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ $=$ $\sqrt{2}$ 的图象都在 $X$ 轴上方，此时，曲线与坐标轴所围成的面积就等于对应区间上积分的值。

解法 1：转为一般的显函数后求解

$$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& x=0\Rightarrow y=2;\\ & y=0\Rightarrow x=2\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& x>0;\\ & y>0.\end{array}$$

通过上面的步骤我们就确定了曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ $=$ $\sqrt{2}$ 的大致图形和范围，于是：

$$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\Rightarrow$$

$$\sqrt{y}=\sqrt{2}-\sqrt{x}\Rightarrow$$

$$y=2+x-2\sqrt{2}\sqrt{x}\Rightarrow$$

注意：$y$ $\ne$ $2+x-2\sqrt{2}\cdot x$

$${\int }_0^2(2+x-2\sqrt{2}\sqrt{x})\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$2{\int }_0^2\mathrm{d}x+{\int }_0^{2}x\mathrm{d}x-2\sqrt{2}{\int }_0^2{x}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$4+\frac{1}{2}{x}^2{|}_0^2-2\sqrt{2}\cdot \frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}{|}_0^2\Rightarrow$$

$$4+\frac{1}{2}\times 4-2\sqrt{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2}=$$

$$6-4\times 2\times \frac{2}{3}=6-\frac{16}{3}=\frac{2}{3}.$$

解法 2：转为参数方程后求解

注意：转为参数方程的具体方法可以参考《直角坐标系下一般方程转参数方程的通用方法》这篇文章。

$$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\Rightarrow$$

$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}=1\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& {\cos }^2\theta =\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}};\\ & {\sin }^2\theta =\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& \sqrt{x}=\sqrt{2}{\cos }^2\theta ;\\ & \sqrt{y}=\sqrt{2}{\sin }^2\theta .\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& x=2{\cos }^4\theta ;\\ & y=2{\sin }^4\theta \end{array}$$

于是，若用 $S$ 表示曲线与坐标轴所围成的面积，则：

$$S={\int }_0^{2}y(x)\mathrm{d}x$$

又：

$$x\in (0,2)\Rightarrow x=2{\cos }^4\theta \in (0,2)\Rightarrow$$

$${\cos }^4\theta \in (0,1)\Rightarrow \theta \in (\frac{\pi }{2},0).$$

于是：

$$S={\int }_0^{2}y(x)\mathrm{d}x={\int }_{\frac{\pi }{2}}^0(2{\sin }^4\theta )d(2{\cos }^4\theta )=$$

$$-4{\int }_{\frac{\pi }{2}}^0{\sin }^4\theta (4{\cos }^3\theta {\sin }^2\theta )\mathrm{d}\theta =$$

$$16{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \theta {\cos }^3\theta \mathrm{d}\theta =$$

$$16{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^5\theta (1-{\sin }^2\theta )\mathrm{d}(\sin \theta )=$$

$$16{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^5\theta -{\sin }^7\theta )\mathrm{d}(\sin \theta )$$

$${16(\frac{1}{6}{\sin }^6\theta -\frac{1}{8}{\sin }^8\theta )|}_0^{\frac{\pi }{2}}=$$

$$16[\frac{1}{6}(1-0)-\frac{1}{8}(1-0)]=$$

$$16(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})=\frac{8}{3}-\frac{6}{3}=\frac{2}{3}.$$

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