一个看上去很难的积分题：某些隐函数其实是“假”的

一、题目

曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ $=$ $\sqrt{2}$ 与坐标轴所围成图形的面积是多少？

难度评级：

二、解析

注意：曲线与坐标轴所围成的面积不一定就等于对应区间上积分的值，但在本题中，由于一定存在 $x \geq 0$ 和 $y \geq 0$, 所以曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ $=$ $\sqrt{2}$ 的图象都在 $X$ 轴上方，此时，曲线与坐标轴所围成的面积就等于对应区间上积分的值。

解法 1：转为一般的显函数后求解

$$
\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2} \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& x=0 \Rightarrow y=2; \\
& y=0 \Rightarrow x=2
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& x>0; \\
& y>0.
\end{cases}
$$

通过上面的步骤我们就确定了曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ $=$ $\sqrt{2}$ 的大致图形和范围，于是：

$$
\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2} \Rightarrow
$$

$$
\sqrt{y}=\sqrt{2}-\sqrt{x} \Rightarrow
$$

$$
y=2+x-2 \sqrt{2} \sqrt{x} \Rightarrow
$$

注意：$y$ $\neq$ $2+x-2 \sqrt{2} \cdot x$

$$
\int_{0}^{2}(2+x-2 \sqrt{2} \sqrt{x}) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
2 \int_{0}^{2} \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{2} x \mathrm{~ d} x-2 \sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{\frac{1}{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
4 + \frac{1}{2} x^{2} \Big|_{0} ^{2}- 2 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \Big|_{0} ^{2} \Rightarrow
$$

$$
4+\frac{1}{2} \times 4-2 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 \sqrt{2}=
$$

$$
6-4 \times 2 \times \frac{2}{3}=6-\frac{16}{3}=\frac{2}{3}.
$$

解法 2：转为参数方程后求解

注意：转为参数方程的具体方法可以参考《直角坐标系下一般方程转参数方程的通用方法》这篇文章。

$$
\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}=1 \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& \cos ^{2} \theta=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}; \\
& \sin ^{2} \theta=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& \sqrt{x}=\sqrt{2} \cos ^{2} \theta; \\
& \sqrt{y}=\sqrt{2} \sin ^{2} \theta.
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& x=2 \cos ^{4} \theta; \\
& y=2 \sin ^{4} \theta
\end{cases}
$$

于是，若用 $S$ 表示曲线与坐标轴所围成的面积，则：

$$
S=\int_{0}^{2} y(x) \mathrm{~ d} x
$$

又：

$$
x \in(0,2) \Rightarrow x=2 \cos ^{4} \theta \in(0,2) \Rightarrow
$$

$$
\cos ^{4} \theta \in(0,1) \Rightarrow \theta \in\left(\frac{\pi}{2}, 0\right).
$$

于是：

$$
S=\int_{0}^{2} y(x) \mathrm{~ d} x=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\left(2 \sin ^{4} \theta\right) d\left(2 \cos ^{4} \theta\right)=
$$

$$
-4 \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \sin ^{4} \theta\left(4 \cos ^{3} \theta \sin ^{2} \theta\right) \mathrm{~ d} \theta=
$$

$$
16 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cos ^{3} \theta \mathrm{~ d} \theta=
$$

$$
16 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{5} \theta\left(1-\sin ^{2} \theta\right) \mathrm{~ d} (\sin \theta)=
$$

$$
16 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{5} \theta-\sin ^{7} \theta\right) \mathrm{~ d} (\sin \theta)
$$

$$
\left.16\left(\frac{1}{6} \sin ^{6} \theta-\frac{1}{8} \sin ^{8} \theta\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=
$$

$$
16\left[\frac{1}{6}(1-0)-\frac{1}{8}(1-0)\right]=
$$

$$
16\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\right)=\frac{8}{3}-\frac{6}{3}=\frac{2}{3}.
$$

---